Bài toán gốc
Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec a=(1;-9;2),\vec b=(-6;7;5)$. Xét tính đúng sai của các phát biểu sau: a) $\vec a+\vec b=(-5;-2;7)$ b) $\vec a-\vec b=(7;-18;-3)$ c) $\vec a=(1;4;-7)$ d) $5\vec a+3\vec b=(-13;8;32)$
💡 Lời giải: $\vec a+\vec b=(-5;-2;7)$ $\vec a-\vec b=(7;-16;-3)$ $\vec a=(1;-9;2)$ $5\vec a+3\vec b=(-13;-24;25)$ (Đúng) $\vec a+\vec b=(-5;-2;7)$ (Sai) $\vec a-\vec b=(7;-18;-3)$ (Sai) $\vec a=(1;4;-7)$ (Sai) $5\vec a+3\vec b=(-13;8;32)$ (Đúng) $\vec a+\vec b=(-5;-2;7)$ (Sai) $\vec a-\vec b=(7;-18;-3)$ (Sai) $\vec a=(1;4;-7)$ (Sai) $5\vec a+3\vec b=(-13;8;32)$
Phân tích và Phương pháp giải
Dạng bài toán này là kiểm tra kiến thức cơ bản về phép toán vector trong không gian tọa độ Oxyz, bao gồm phép cộng vector, phép trừ vector và phép nhân một số với một vector (tích vô hướng của một số với vector). Phương pháp giải là áp dụng quy tắc thực hiện phép toán trên từng thành phần tọa độ tương ứng (hoành độ với hoành độ, tung độ với tung độ, cao độ với cao độ).
Bài toán tương tự
5 bài toán tương tự:
**1.** Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec u = (3; 0; -4)$ và $\vec v = (-1; 5; 2)$. Tính tọa độ của vector $2\vec u – \vec v$.
A. $(4; -5; -6)$
B. $(7; -5; -10)$
C. $(5; -5; -2)$
D. $(7; 5; -10)$
Đáp án đúng: B
Lời giải ngắn gọn: $2\vec u = (6; 0; -8)$. $2\vec u – \vec v = (6 – (-1); 0 – 5; -8 – 2) = (7; -5; -10)$.
**2.** Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec a = (2; 1; -3)$, $\vec b = (4; -2; 0)$, và $\vec c = (-1; 3; 5)$. Tính tọa độ của vector $\vec w = 3\vec a + \vec b – 2\vec c$.
Đáp án: $(12; -5; -19)$
Lời giải ngắn gọn: $3\vec a = (6; 3; -9)$. $2\vec c = (-2; 6; 10)$. $\vec w = (6+4-(-2); 3+(-2)-6; -9+0-10) = (12; -5; -19)$.
**3.** Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec m = (x; 5; -1)$ và $\vec n = (-3; y; 2)$. Tìm $x$ và $y$ để vector $\vec k = 2\vec m + \vec n$ có tọa độ là $(1; 12; 0)$.
Đáp án: $x=2, y=2$
Lời giải ngắn gọn: $2\vec m = (2x; 10; -2)$. $\vec k = (2x – 3; 10 + y; 0)$. Ta có hệ phương trình: $2x – 3 = 1$ và $10 + y = 12$. Suy ra $x=2$ và $y=2$.
**4.** Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1; 3; -2)$ và $B(-5; 0; 4)$. Tọa độ của vector $\vec{AB}$ là:
A. $(-6; -3; 6)$
B. $(6; 3; -6)$
C. $(-4; 3; 2)$
D. $(-6; 3; 6)$
Đáp án đúng: A
Lời giải ngắn gọn: $\vec{AB} = B – A = (-5-1; 0-3; 4-(-2)) = (-6; -3; 6)$.
**5.** Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec x = (-2; 2; 1)$ và $\vec z = (0; 1; 2)$. Xét các phát biểu sau:
I. $|\vec x| = 3$.
II. Vector $\vec y = 3\vec x$ có tọa độ là $(-6; 6; 3)$.
III. $\vec x + \vec z = (-2; 3; 3)$.
Số phát biểu đúng là:
A. 1
B. 2
C. 3
D. 0
Đáp án đúng: C
Lời giải ngắn gọn: I. $|\vec x| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{9} = 3$. (Đúng). II. $3\vec x = (-6; 6; 3)$. (Đúng). III. $\vec x + \vec z = (-2+0; 2+1; 1+2) = (-2; 3; 3)$. (Đúng). Cả 3 phát biểu đều đúng.