Bài toán gốc
Trong không gian $Oxyz$. Cho tam giác $ABC$ có $A(-1;2;3),B(3;0;2),C(0;-2;2)$. Biết chân đường cao kẻ từ đỉnh $B$ của $\triangle ABC$ là $H(a;b;c)$. Giá trị của $18(a+b+c)$ bằng bao nhiêu?
💡 Đáp án: 20
💡 Lời giải: $H\in AC,\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}=0\Rightarrow H, A, C$ thẳng hàng và $\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}=0\Rightarrow H\left(-\dfrac{5}{18};-\dfrac{8}{9};\dfrac{41}{18}\right)$
Phân tích và Phương pháp giải
Dạng bài toán yêu cầu tìm tọa độ chân đường cao $H$ của một đỉnh lên cạnh đối diện trong tam giác $ABC$ trong không gian $Oxyz$. Phương pháp giải dựa trên hai điều kiện vector:
1. Điểm $H$ nằm trên đường thẳng chứa cạnh đối diện (ví dụ $AC$), sử dụng phương trình tham số của đường thẳng ($H$ có thể biểu diễn qua $A, C$ và một tham số $t$: $\vec{AH} = t \cdot \vec{AC}$).
2. Đoạn $BH$ vuông góc với cạnh đối diện $AC$ ($\vec{BH} \cdot \vec{AC} = 0$).
Giải phương trình vô hướng để tìm tham số $t$, từ đó suy ra tọa độ $H$.
Bài toán tương tự
5 Bài toán tương tự:
**1. (Tự luận)**
Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ với $A(1; 0; 1), B(2; 1; 3), C(0; 4; 1)$. Tìm tọa độ chân đường cao $H$ kẻ từ đỉnh $A$ xuống cạnh $BC$.
Đáp án: $H\left(\dfrac{28}{17}; \dfrac{26}{17}; \dfrac{45}{17}\right)$.
Lời giải ngắn gọn: $\vec{BC} = (-2; 3; -2)$. $H\in BC \Rightarrow H(2-2t; 1+3t; 3-2t)$. $\vec{AH} = (1-2t; 1+3t; 2-2t)$. Điều kiện $\vec{AH} \cdot \vec{BC} = 0$ dẫn đến $17t – 3 = 0 \Rightarrow t = \dfrac{3}{17}$. Thay $t$ vào tọa độ $H$.
**2. (Trắc nghiệm)**
Trong không gian $Oxyz$, cho $A(2; 1; 3), B(1; -1; 0), C(4; 1; 1)$. Gọi $H$ là chân đường cao kẻ từ $B$ xuống $AC$. Tọa độ điểm $H$ là:
A. $H(3; 1; 2)$
B. $H(2; 1; 2)$
C. $H(1; 1; 2)$
D. $H(2; 0; 2)$
Đáp án đúng: A.
Lời giải ngắn gọn: $\vec{AC} = (2; 0; -2)$. Lấy vector chỉ phương $u=(1; 0; -1)$. $H \in AC \Rightarrow H(2+t; 1; 3-t)$. $\vec{BH} = (1+t; 2; 3-t)$. Điều kiện $\vec{BH} \cdot \vec{u} = 0 \Rightarrow 1(1+t) + 0 + (-1)(3-t) = 0 \Rightarrow 2t – 2 = 0 \Rightarrow t = 1$. Vậy $H(3; 1; 2)$.
**3. (Trắc nghiệm)**
Trong không gian $Oxyz$, cho $A(1; 1; 1), B(2; 3; 4), C(5; 3; 1)$. Gọi $H(a; b; c)$ là chân đường cao kẻ từ $C$ xuống $AB$. Giá trị của $7(a+b+c)$ bằng:
A. 42
B. 45
C. 48
D. 50
Đáp án đúng: B.
Lời giải ngắn gọn: $\vec{AB} = (1; 2; 3)$. $H \in AB \Rightarrow H(1+t; 1+2t; 1+3t)$. $\vec{CH} = (t-4; 2t-2; 3t)$. Điều kiện $\vec{CH} \cdot \vec{AB} = 0 \Rightarrow 1(t-4) + 2(2t-2) + 3(3t) = 0 \Rightarrow 14t – 8 = 0 \Rightarrow t = \dfrac{4}{7}$. Tọa độ $H$: $a = \dfrac{11}{7}, b = \dfrac{15}{7}, c = \dfrac{19}{7}$. Tổng $a+b+c = \dfrac{11+15+19}{7} = \dfrac{45}{7}$. Vậy $7(a+b+c) = 45$.
**4. (Trắc nghiệm)**
Trong không gian $Oxyz$, cho $A(1; 2; 5), B(3; 4; 3), C(-1; 6; 1)$. Gọi $H(a; b; c)$ là chân đường cao kẻ từ $A$ xuống $BC$. Tính giá trị của $a+b+c$.
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
Đáp án đúng: C.
Lời giải ngắn gọn: $\vec{BC} = (-4; 2; -2)$. Lấy $u=(-2; 1; -1)$. $H \in BC \Rightarrow H(3-2t; 4+t; 3-t)$. $\vec{AH} = (2-2t; 2+t; -2-t)$. Điều kiện $\vec{AH} \cdot \vec{u} = 0 \Rightarrow -2(2-2t) + 1(2+t) – 1(-2-t) = 0 \Rightarrow -4 + 4t + 2 + t + 2 + t = 0 \Rightarrow 6t = 0 \Rightarrow t = 0$. Vậy $H(3; 4; 3)$, trùng với điểm $B$. $a+b+c = 3+4+3 = 10$.
**5. (Tự luận)**
Trong không gian $Oxyz$, cho $M(4; -1; 3), N(1; 2; 0), P(5; 0; 2)$. Gọi $K$ là chân đường cao kẻ từ $N$ xuống $MP$. Tính khoảng cách $NK$.
Đáp án: $2\sqrt{6}$.
Lời giải ngắn gọn: $\vec{MP} = (1; 1; -1)$. $K \in MP \Rightarrow K(4+t; -1+t; 3-t)$. $\vec{NK} = (3+t; -3+t; 3-t)$. Điều kiện $\vec{NK} \cdot \vec{MP} = 0 \Rightarrow 1(3+t) + 1(-3+t) – 1(3-t) = 0 \Rightarrow 3t – 3 = 0 \Rightarrow t = 1$. Vậy $K(5; 0; 2)$, trùng với điểm $P$. Do đó, tam giác $MNP$ vuông tại $P$. Khoảng cách $NK = NP = \sqrt{(5-1)^2 + (0-2)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{16+4+4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}.