Bài toán gốc
Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp chữ nhật $ABCD.MNPQ$ có $AB=2,AD=4,AM=5$. $O$ trùng với $A$; các vector $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AM}$ cùng hướng với $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$. Có bao nhiêu khẳng định sai trong các khẳng định sau? (a). $\overrightarrow{AM}=(0;0;5)$. (b). $\overrightarrow{AB}=(4;0;0)$. (c). $\overrightarrow{BQ}=(-2;4;5)$. (d). $\overrightarrow{BQ}=(2;-4;5)$.
A. 4 B. 1 C. 3 D. 2
💡 Lời giải: (Đúng)(a). $\overrightarrow{AM}=(0;0;5)$. (Sai)(b). $\overrightarrow{AB}=(4;0;0)$. (Vì): $\overrightarrow{AB}=2\vec{i}$. (Đúng)(c). $\overrightarrow{BQ}=(-2;4;5)$. (Vì): $\overrightarrow{BQ}=\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=-2\vec{i}+4\vec{j}+5\vec{k}$. (Sai)(d). $\overrightarrow{BQ}=(2;-4;5)$. (Vì): $\overrightarrow{BQ}=\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=-2\vec{i}+4\vec{j}+5\vec{k}$.
Phân tích và Phương pháp giải
Dạng bài tập: Xác định tọa độ các đỉnh và các vectơ trong không gian Oxyz dựa trên mô hình hình hộp chữ nhật có kích thước cho trước, trong đó một đỉnh trùng với gốc tọa độ O và các cạnh cơ sở nằm trên các trục tọa độ. Đây là dạng bài cơ bản về ứng dụng hệ tọa độ trong không gian để tính toán hình học. Phương pháp giải: 1. Thiết lập hệ tọa độ sao cho A (hoặc đỉnh gốc) trùng O, và các cạnh xuất phát từ A lần lượt nằm trên Ox, Oy, Oz. 2. Xác định tọa độ các đỉnh còn lại dựa trên kích thước hình hộp ($AB=a, AD=b, AM=c$). 3. Tính toán tọa độ vectơ theo công thức $\overrightarrow{XY} = Y – X$ hoặc sử dụng quy tắc cộng vectơ.
Bài toán tương tự
5 bài toán tương tự:
**1. (Trắc nghiệm)** Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A’B’C’D’$ có $AB=3, AD=6, AA’=1$. Đặt $A$ trùng với $O$; các vector $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AA’}$ cùng hướng với $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$. Khẳng định nào sau đây là **đúng**?
A. Tọa độ đỉnh $C’$ là $(3; 6; 0)$.
B. $\overrightarrow{AC} = (3; 6; 1)$.
C. $\overrightarrow{A’C’} = (3; 6; 0)$.
D. $\overrightarrow{BD’} = (-3; 6; 1)$.
Đáp án đúng: D.
Lời giải ngắn gọn: $A(0,0,0), B(3,0,0), D(0,6,0), A'(0,0,1)$. $D'(0,6,1)$. $\overrightarrow{BD’} = D’ – B = (-3; 6; 1)$.
**2. (Trắc nghiệm)** Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp chữ nhật $OABC.O’A’B’C’$ với $O$ là gốc tọa độ. Biết $OA$ nằm trên $Ox, OC$ nằm trên $Oy, OO’$ nằm trên $Oz$. Nếu $OA=4, OC=3, OO’=2$. Hỏi có bao nhiêu khẳng định **đúng** trong các khẳng định sau?
(I). Tọa độ đỉnh $B$ là $(4; 3; 0)$.
(II). $\overrightarrow{OB’} = (4; 3; 2)$.
(III). $\overrightarrow{O’C} = (0; 3; -2)$.
(IV). $A’C = 5$.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Đáp án đúng: C.
Lời giải ngắn gọn: $A(4,0,0), C(0,3,0), O'(0,0,2), B'(4,3,2), A'(4,0,2)$. (I), (II) đúng. (III). $\overrightarrow{O’C} = C – O’ = (0; 3; -2)$. Đúng. (IV). $A’C = \sqrt{4^2 + (-3)^2 + (-2)^2} = \sqrt{29} \ne 5$. Có 3 khẳng định đúng.
**3. (Trắc nghiệm)** Trong không gian $Oxyz$, cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$ có cạnh bằng $a=4$. Chọn hệ trục tọa độ sao cho $A$ trùng $O$, $AB$ trên $Ox$, $AD$ trên $Oy$, $AA’$ trên $Oz$. Tính độ dài vectơ $\overrightarrow{AC’} + \overrightarrow{DB}$.
A. $\sqrt{160}$ B. $4\sqrt{2}$ C. $4\sqrt{10}$ D. $4\sqrt{5}$
Đáp án đúng: D.
Lời giải ngắn gọn: $A(0,0,0), C'(4,4,4)$. $B(4,0,0), D(0,4,0)$. $\overrightarrow{AC’} = (4, 4, 4)$. $\overrightarrow{DB} = (4, -4, 0)$. $\overrightarrow{v} = (8, 0, 4)$. $|\overrightarrow{v}| = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$.
**4. (Tự luận)** Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A’B’C’D’$ có $A(1, 0, 0), B(3, 0, 0), D(1, 5, 0), A'(1, 0, 4)$. a) Tìm tọa độ đỉnh $C’$. b) Tính tích vô hướng $\overrightarrow{A’C} \cdot \overrightarrow{DB’}$.
Đáp án: a) $C'(3, 5, 4)$. b) $-37$.
Lời giải ngắn gọn: $\overrightarrow{AB}=(2,0,0), \overrightarrow{AD}=(0,5,0), \overrightarrow{AA’}=(0,0,4)$. $C = A+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD} = (3, 5, 0)$. $C’ = C+\overrightarrow{AA’} = (3, 5, 4)$. $\overrightarrow{A’C} = C – A’ = (2, 5, -4)$. $B'(3, 0, 4)$. $\overrightarrow{DB’} = B’ – D = (2, -5, 4)$. $\overrightarrow{A’C} \cdot \overrightarrow{DB’} = (2)(2) + (5)(-5) + (-4)(4) = 4 – 25 – 16 = -37$.
**5. (Trắc nghiệm)** Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A’B’C’D’$ có $A(0, 0, 0), B(5, 0, 0), D(0, 2, 0), A'(0, 0, 1)$. Gọi $M$ là trung điểm của $CC’$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{DM}$ là:
A. $(5; 0; 0.5)$.
B. $(5; -2; 0.5)$.
C. $(-5; 2; 0.5)$.
D. $(5; 0.5; 0)$.
Đáp án đúng: A.
Lời giải ngắn gọn: $C(5, 2, 0), C'(5, 2, 1)$. $M$ là trung điểm $CC’$, nên $M(5, 2, 0.5)$. $D(0, 2, 0)$. $\overrightarrow{DM} = M – D = (5-0; 2-2; 0.5-0) = (5; 0; 0.5)$.