Bài toán gốc
Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp chữ nhật $ABCD.MNPQ$ có $AB=5,AD=4,AM=8$. $O$ trùng với $A$; các vector $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AM}$ cùng hướng với $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?
A. $\overrightarrow{DN}=5\vec{i}+4\vec{j}-8\vec{k}$. B. $\overrightarrow{AB}=5\vec{i}$. C. $\overrightarrow{MC}=5\vec{i}+4\vec{j}-8\vec{k}$. D. $\overrightarrow{DP}=5\vec{i}+8\vec{k}$.
💡 Lời giải: (Sai). $\overrightarrow{DN}=5\vec{i}+4\vec{j}-8\vec{k}$. (Vì): $\overrightarrow{DN}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DQ}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AM}=5\vec{i}-4\vec{j}+8\vec{k}$. (Đúng). $\overrightarrow{MC}=5\vec{i}+4\vec{j}-8\vec{k}$. (Vì): $\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AM}=5\vec{i}+4\vec{j}-8\vec{k}$. (Đúng). $\overrightarrow{AB}=5\vec{i}$. (Đúng). $\overrightarrow{DP}=5\vec{i}+8\vec{k}$. (Vì): $\overrightarrow{DP}=\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AM}=5\vec{i}+8\vec{k}$.
Phân tích và Phương pháp giải
Đây là dạng toán cơ bản về xác định tọa độ đỉnh và tính toán vectơ trong hệ trục tọa độ Oxyz, áp dụng cho hình hộp chữ nhật. Phương pháp giải là xác định hệ trục tọa độ sao cho gốc O trùng với đỉnh A và ba cạnh AB, AD, AM (hoặc AA’) lần lượt nằm trên Ox, Oy, Oz. Dựa vào kích thước đã cho, ta xác định được tọa độ tất cả các đỉnh. Sau đó, tính vectơ bằng công thức hiệu tọa độ cuối trừ tọa độ đầu, hoặc sử dụng quy tắc cộng/trừ vectơ: $\overrightarrow{XY} = \overrightarrow{AY} – \overrightarrow{AX}$.
Bài toán tương tự
1. Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A’B’C’D’$ có $AB=3, AD=2, AA’=6$. Biết $A$ trùng với gốc tọa độ $O$, các vector $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AA’}$ lần lượt cùng hướng với $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$. Vectơ $\overrightarrow{AC’}$ là:
A. $3\vec{i}+2\vec{j}+6\vec{k}$. B. $3\vec{i}-2\vec{j}+6\vec{k}$. C. $3\vec{i}+2\vec{j}-6\vec{k}$. D. $-3\vec{i}+2\vec{j}+6\vec{k}$.
Đáp án đúng: A.
Giải thích: Ta có $A(0,0,0)$. $B(3,0,0)$, $D(0,2,0)$, $A'(0,0,6)$. Tọa độ đỉnh $C’$ là $C'(3, 2, 6)$. Do đó $\overrightarrow{AC’} = (3; 2; 6) = 3\vec{i}+2\vec{j}+6\vec{k}$.
2. Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp chữ nhật $ABCD.MNGH$ có $AB=4, AD=6, AM=3$. $A$ trùng $O$, $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AM}$ cùng hướng với $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. $\overrightarrow{DC} = 4\vec{i}$. B. $\overrightarrow{HC} = 4\vec{i} + 6\vec{j} – 3\vec{k}$. C. $\overrightarrow{GM} = -4\vec{i} – 6\vec{j}$. D. $\overrightarrow{DB} = 4\vec{i} – 6\vec{j}$.
Đáp án đúng: B.
Giải thích: Tọa độ các đỉnh: $A(0,0,0), B(4,0,0), C(4,6,0), D(0,6,0), M(0,0,3), G(4,6,3), H(0,6,3)$.
Ta tính $\overrightarrow{HC} = C-H = (4-0; 6-6; 0-3) = (4; 0; -3) = 4\vec{i} – 3\vec{k}$. Khẳng định B cho rằng $\overrightarrow{HC} = 4\vec{i} + 6\vec{j} – 3\vec{k}$ là sai.
3. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A’B’C’D’$ với $A(0;0;0)$, $B(2;0;0)$, $D(0;1;0)$, $A'(0;0;4)$. Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{DB’}$.
A. 21. B. $\sqrt{21}$. C. 5. D. $\sqrt{17}$.
Đáp án đúng: B.
Giải thích: $D(0, 1, 0)$. $B'(2, 0, 4)$. Vectơ $\overrightarrow{DB’} = (2-0; 0-1; 4-0) = (2; -1; 4)$. Độ dài $|
\overrightarrow{DB’}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 4^2} = \sqrt{4+1+16} = \sqrt{21}$.
4. Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp chữ nhật $OABC.O’A’B’C’$ với $O(0,0,0)$. $OA=6$ (trên $Ox$), $OC=3$ (trên $Oy$), $OO’=2$ (trên $Oz$). Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $B’C’$. Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{OM}$.
A. $(3, 3, 2)$. B. $(6, 3, 2)$. C. $(3, 3, 1)$. D. $(0, 3, 2)$.
Đáp án đúng: A.
Giải thích: Ta có $O(0,0,0)$. $A(6,0,0)$, $C(0,3,0)$, $O'(0,0,2)$. Các đỉnh trên mặt phẳng song song: $C'(0, 3, 2), B'(6, 3, 2)$. $M$ là trung điểm $B’C’$. $M = \left(\frac{6+0}{2}; \frac{3+3}{2}; \frac{2+2}{2}\right) = (3, 3, 2)$. Do $O$ là gốc tọa độ nên $\overrightarrow{OM} = (3, 3, 2)$.
5. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A’B’C’D’$. Đặt $A(0,0,0)$, $AB=1, AD=5, AA’=7$. Xác định vectơ $\overrightarrow{D’B}$ dưới dạng $x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$.
A. $\vec{i} + 5\vec{j} + 7\vec{k}$. B. $\vec{i} – 5\vec{j} – 7\vec{k}$. C. $-\vec{i} + 5\vec{j} + 7\vec{k}$. D. $1\vec{i} – 5\vec{j} + 7\vec{k}$.
Đáp án đúng: B.
Giải thích: $A(0,0,0)$. $B(1, 0, 0)$. $D’$ là đỉnh đối diện với D trên mặt phẳng $A’B’C’D’$, nên $D'(0, 5, 7)$. $\overrightarrow{D’B} = B – D’ = (1-0; 0-5; 0-7) = (1; -5; -7) = \vec{i} – 5\vec{j} – 7\vec{k}$.