Bài toán gốc
Trong không gian $Oxyz$, cho $M\left(-4;6;-3\right)$. Tìm tọa độ điểm $M’$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $MM’$ ngắn nhất
A. $M’\left(-4;0;-3\right)$ B. $M’\left(0;6;-3\right)$ C. $M’\left(-4;6;0\right)$ D. $M’\left(0;0;-3\right)$
Phân tích và Phương pháp giải
Dạng toán tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của một điểm $M(x_0, y_0, z_0)$ lên một mặt phẳng tọa độ $(P)$. Điểm $M’$ có khoảng cách $MM’$ ngắn nhất chính là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $(P)$.
* Hình chiếu lên $(Oxy)$ (phương trình $z=0$): $M'(x_0, y_0, 0)$.
* Hình chiếu lên $(Oyz)$ (phương trình $x=0$): $M'(0, y_0, z_0)$.
* Hình chiếu lên $(Oxz)$ (phương trình $y=0$): $M'(x_0, 0, z_0)$.
Bài toán tương tự
5 bài toán tương tự:
**1. (Trắc nghiệm)** Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left(2;-5;1\right)$. Tìm tọa độ điểm $A’$ trên mặt phẳng $(Oyz)$ sao cho $AA’$ ngắn nhất.
A. $A’\left(2;0;1\right)$ B. $A’\left(0;-5;1\right)$ C. $A’\left(2;-5;0\right)$ D. $A’\left(0;0;1\right)$.
Đáp án đúng: B. $A’\left(0;-5;1\right)$.
Lời giải ngắn gọn: $A’$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên mặt phẳng $(Oyz)$ ($x=0$). Giữ nguyên $y$ và $z$, đặt $x=0$, ta có $A'(0; -5; 1)$.
**2. (Trắc nghiệm)** Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $B\left(-3;4;7\right)$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $B$ lên mặt phẳng $(Oxz)$. Tọa độ của $H$ là:
A. $H\left(-3;0;7\right)$ B. $H\left(0;4;7\right)$ C. $H\left(-3;4;0\right)$ D. $H\left(0;0;7\right)$.
Đáp án đúng: A. $H\left(-3;0;7\right)$.
Lời giải ngắn gọn: $H$ là hình chiếu vuông góc của $B$ lên mặt phẳng $(Oxz)$ ($y=0$). Giữ nguyên $x$ và $z$, đặt $y=0$, ta có $H(-3; 0; 7)$.
**3. (Trắc nghiệm)** Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $P\left(10;-1;5\right)$. Tìm tọa độ điểm $Q$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $PQ$ đạt giá trị nhỏ nhất.
A. $Q\left(10;-1;0\right)$ B. $Q\left(0;-1;5\right)$ C. $Q\left(10;0;5\right)$ D. $Q\left(0;0;5\right)$.
Đáp án đúng: A. $Q\left(10;-1;0\right)$.
Lời giải ngắn gọn: $Q$ là hình chiếu vuông góc của $P$ lên $(Oxy)$ ($z=0$). $Q(10; -1; 0)$.
**4. (Trắc nghiệm)** Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $K\left(-1; 2; -6\right)$. Tính khoảng cách ngắn nhất từ $K$ đến mặt phẳng tọa độ $(Oxz)$.
A. 1 B. 2 C. 6 D. $\sqrt{37}$.
Đáp án đúng: B. 2.
Lời giải ngắn gọn: Khoảng cách ngắn nhất từ $K(x_0, y_0, z_0)$ đến $(Oxz)$ là $|y_0|$. Với $K(-1; 2; -6)$, khoảng cách là $|2| = 2$.
**5. (Trắc nghiệm)** Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $E\left(\sqrt{2}; 3; -\pi\right)$. Gọi $E’$ là hình chiếu vuông góc của $E$ lên mặt phẳng $(Oyz)$. Tính tổng tọa độ của $E’$.
A. $3 – \pi$ B. $\sqrt{2} + 3 – \pi$ C. $\sqrt{2} – \pi$ D. $3 + \pi$.
Đáp án đúng: A. $3 – \pi$.
Lời giải ngắn gọn: $E’$ là hình chiếu của $E$ lên $(Oyz)$ ($x=0$). $E'(0; 3; -\pi)$. Tổng tọa độ là $0 + 3 + (-\pi) = 3 – \pi$.