Bài toán gốc
Trong không gian với một hệ trục tọa độ $Oxyz$. Cho $\vec a=(-4;8;1)$ và $\vec b=(5;3;-2)$.
A. $\vec a+\vec b=(1;11;-1)$. B. $\vec a+\vec b=(1;11;1)$. C. $\vec a+\vec b=(3;11;-1)$. D. $\vec a+\vec b=(1;12;-1)$.
💡 Lời giải: $\vec a+\vec b=(a_1+b_1;a_2+b_2;a_3+b_3)=(1;11;-1)$.
Phân tích và Phương pháp giải
Dạng bài toán: Phép toán cộng/trừ vectơ trong không gian $Oxyz$. Đây là dạng bài cơ bản nhất về vectơ, kiểm tra kiến thức về cách xác định tọa độ của vectơ tổng hoặc hiệu. Phương pháp giải: Nếu $\vec a=(a_1; a_2; a_3)$ và $\vec b=(b_1; b_2; b_3)$, thì $\vec a \pm \vec b = (a_1 \pm b_1; a_2 \pm b_2; a_3 \pm b_3)$.
Bài toán tương tự
1. Cho $\vec u=(2;-1;3)$ và $\vec v=(-5;4;1)$. Tìm tọa độ của vectơ $\vec w = \vec u + \vec v$.
A. $\vec w=(-3;3;4)$. B. $\vec w=(7;-5;2)$. C. $\vec w=(-3;-3;4)$. D. $\vec w=(3;3;4)$.
Đáp án đúng: A.
Lời giải: $\vec w = (2+(-5); -1+4; 3+1) = (-3; 3; 4)$.
2. Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec a=(1; 0; -2)$ và $\vec b=(3; -1; 4)$. Tìm tọa độ của vectơ $\vec x = \vec a – \vec b$.
A. $(-2; 1; -6)$. B. $(4; -1; 2)$. C. $(-2; -1; -6)$. D. $(2; 1; 6)$.
Đáp án đúng: A.
Lời giải: $\vec x = (1-3; 0-(-1); -2-4) = (-2; 1; -6)$.
3. Cho $\vec u=(1; -2; 0)$ và $\vec v=(3; 1; 2)$. Tìm tọa độ của vectơ $\vec w = 2\vec u + \vec v$.
A. $(5; -3; 2)$. B. $(4; -1; 2)$. C. $(5; 0; 2)$. D. $(5; -5; 2)$.
Đáp án đúng: A.
Lời giải: Ta có $2\vec u = (2; -4; 0)$. Khi đó $\vec w = (2+3; -4+1; 0+2) = (5; -3; 2)$.
4. Trong không gian $Oxyz$, cho $A(1; 2; -1)$, $B(3; 0; 5)$ và $C(-2; 1; 4)$. Tính tọa độ của vectơ $\vec{AB} + \vec{BC}$.
Đáp án: $\vec{AC} = (-3; -1; 5)$.
Lời giải ngắn gọn: Ta có $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$ (quy tắc ba điểm). Tọa độ $\vec{AC} = (x_C – x_A; y_C – y_A; z_C – z_A) = (-2-1; 1-2; 4-(-1)) = (-3; -1; 5)$.
5. Cho $\vec m=(-1; 5; 3)$ và $\vec n=(4; 2; -1)$. Vectơ $\vec p = \vec n – 3\vec m$ có tọa độ là:
A. $(7; -13; -10)$. B. $(7; 1; 0)$. C. $(-7; 13; 10)$. D. $(1; 7; 2)$.
Đáp án đúng: A.
Lời giải: Ta có $3\vec m = (-3; 15; 9)$. Vectơ $\vec p = (4 – (-3); 2 – 15; -1 – 9) = (7; -13; -10).