Bài toán gốc
Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp chữ nhật $ABCD.MNPQ$ có $DA=8,DC=7,DQ=2$. $O$ trùng với $D$; các vector $\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{DQ}$ cùng hướng với $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$. a) $\overrightarrow{DC}=7\vec{j}$. b) $\overrightarrow{DB}=8\vec{i}+7\vec{j}$. c) $\overrightarrow{AN}=7\vec{j}+2\vec{k}$. d) $\overrightarrow{AP}=-8\vec{i}+7\vec{j}+2\vec{k}$.
💡 Lời giải: (Đúng) $\overrightarrow{DC}=7\vec{j}$. (Đúng) $\overrightarrow{DB}=8\vec{i}+7\vec{j}$. (Vì): $\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}=8\vec{i}+7\vec{j}$. (Đúng) $\overrightarrow{AN}=7\vec{j}+2\vec{k}$. (Vì): $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{DP}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DQ}=7\vec{j}+2\vec{k}$. (Đúng) $\overrightarrow{AP}=-8\vec{i}+7\vec{j}+2\vec{k}$. (Vì): $\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DQ}-\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}=-8\vec{i}+7\vec{j}+2\vec{k}$. (Đúng) $\overrightarrow{DC}=7\vec{j}$. (Đúng) $\overrightarrow{DB}=8\vec{i}+7\vec{j}$. (Đúng) $\overrightarrow{AN}=7\vec{j}+2\vec{k}$. (Đúng) $\overrightarrow{AP}=-8\vec{i}+7\vec{j}+2\vec{k}$.
Phân tích và Phương pháp giải
Dạng bài toán là xác định tọa độ các đỉnh của hình hộp chữ nhật trong hệ tọa độ Oxyz, khi gốc tọa độ và hướng các trục được thiết lập dựa trên các cạnh của hình hộp. Phương pháp giải là: 1) Đặt gốc tọa độ O trùng với đỉnh D. 2) Xác định tọa độ các đỉnh A, C, Q dựa trên độ dài cạnh và hướng trục đã cho (ví dụ: nếu DA=a và cùng hướng Ox, thì A(a, 0, 0)). 3) Sử dụng quy tắc hình hộp để suy ra tọa độ các đỉnh còn lại (B, M, N, P). 4) Tính toán biểu diễn vectơ $\overrightarrow{XY}$ bằng cách lấy tọa độ điểm cuối trừ tọa độ điểm đầu.
Bài toán tương tự
1. Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp chữ nhật $ABCD.MNPQ$ có $DA=3, DC=4, DQ=5$. $O$ trùng với $D$; các vector $\overrightarrow{DA}, \overrightarrow{DC}, \overrightarrow{DQ}$ lần lượt cùng hướng với $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$. Vectơ $\overrightarrow{CP}$ được biểu diễn là:
(A) $3\vec{i} + 4\vec{j} – 5\vec{k}$.
(B) $-3\vec{i} + 5\vec{k}$.
(C) $-4\vec{j} + 5\vec{k}$.
(D) $-3\vec{i} + 4\vec{j} + 5\vec{k}$.
Đáp án đúng: (B)
Lời giải ngắn gọn: Gốc $D(0, 0, 0)$. Ta có $A(3, 0, 0), C(0, 4, 0), Q(0, 0, 5)$. $P$ là đỉnh đối diện với $C$ qua mặt phẳng $DQMC$, nên $P(0, 4, 5)$. Tuy nhiên, $P$ là đỉnh trên, đối diện với $C$ ở mặt đáy $ABCD$. Vì $P$ đối diện $C$ qua $M, N$ (mặt trên), ta có $P = D +
\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{DQ}$. Sai, $P$ là đỉnh trên, tương ứng với $C$ dưới đáy. $P$ có tọa độ $(0, 4, 5)$. (Lưu ý: Trong ký hiệu $ABCD.MNPQ$, $M$ trên $A$, $N$ trên $B$, $P$ trên $C$, $Q$ trên $D$).
$D(0, 0, 0)
$A(3, 0, 0), C(0, 4, 0), Q(0, 0, 5)$.
$P$: Trên $C$, nên $P(0, 4, 5)$.
$
\overrightarrow{CP} = P – C = (0 – 0, 4 – 4, 5 – 0) = (0, 0, 5) = 5\vec{k}$. (Kiểm tra lại đề bài gốc, $P$ là đỉnh trên $C$).
Kiểm tra lại: $DA=3$ (Ox), $DC=4$ (Oy), $DQ=5$ (Oz).
$A(3, 0, 0), C(0, 4, 0), Q(0, 0, 5)$.
$P$ là đỉnh đối diện $Q$ trên mặt $CDPQ$. $P$ đối diện với $C$ qua $D$.
$P$ là đỉnh trên, đối diện với $C$ ở mặt đáy $ABCD$, tức là $\overrightarrow{DP} = \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{DQ} = (0, 4, 5)$. $P(0, 4, 5)$.
$C(0, 4, 0)$.
$
\overrightarrow{CP} = P – C = (0, 0, 5) = 5\vec{k}$.
(Có lẽ có nhầm lẫn trong các đáp án đưa ra ban đầu, tôi sẽ sửa lại vector yêu cầu để phù hợp với các lựa chọn).
**Sửa Câu 1: Yêu cầu tìm $\overrightarrow{AM}$.**
$A(3, 0, 0)$. $M$ trên $A$, nên $M(3, 0, 5)$.
$
\overrightarrow{AM} = M – A = (0, 0, 5) = 5\vec{k}$. (Vẫn không khớp).
**Sửa Câu 1: Yêu cầu tìm $\overrightarrow{AP}$.**
$A(3, 0, 0), P(0, 4, 5)$.
$
\overrightarrow{AP} = (-3, 4, 5) = -3\vec{i} + 4\vec{j} + 5\vec{k}$. (Khớp với D).
**(Sửa lại đề bài 1 và đáp án để khớp với $AP$):**
**1. Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp chữ nhật $ABCD.MNPQ$ có $DA=3, DC=4, DQ=5$. $O$ trùng với $D$; các vector $\overrightarrow{DA}, \overrightarrow{DC}, \overrightarrow{DQ}$ lần lượt cùng hướng với $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AP}$ là:**
(A) $(3, 4, 5)$.
(B) $(3, -4, 5)$.
(C) $(-3, 4, 5)$.
(D) $(-3, -4, 5)$.
Đáp án đúng: (C)
Lời giải ngắn gọn: Thiết lập tọa độ: $D(0, 0, 0)$. $A(3, 0, 0), C(0, 4, 0), Q(0, 0, 5)$. $P$ là đỉnh đối diện $C$ trên mặt trên, có tọa độ $P(0, 4, 5)$. $\overrightarrow{AP} = P – A = (0-3, 4-0, 5-0) = (-3, 4, 5)$.
**2. Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp chữ nhật $ABCD.MNPQ$ có $DA=6, DC=1, DQ=3$. Cho hệ trục $Oxyz$ có gốc $O
\equiv D$, $\overrightarrow{DC}$ cùng hướng $\vec{i}$, $\overrightarrow{DA}$ cùng hướng $\vec{j}$, $\overrightarrow{DQ}$ cùng hướng $\vec{k}$. Tọa độ của điểm $N$ là:**
(A) $N(1, 6, 3)$.
(B) $N(6, 1, 3)$.
(C) $N(3, 6, 1)$.
(D) $N(6, 3, 1)$.
Đáp án đúng: (A)
Lời giải ngắn gọn: Trục $Ox$ theo $\overrightarrow{DC}$ (dài 1), $Oy$ theo $\overrightarrow{DA}$ (dài 6), $Oz$ theo $\overrightarrow{DQ}$ (dài 3).
$D(0, 0, 0)$. $C(1, 0, 0), A(0, 6, 0), Q(0, 0, 3)$.
$N$ là đỉnh đối diện với $D$ (qua mặt trên), $\overrightarrow{DN} = \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DQ}$.
$N = (1 + 0 + 0, 0 + 6 + 0, 0 + 0 + 3) = (1, 6, 3)$.
**3. Trong không gian $Oxyz$, cho hình lập phương $ABCD.MNPQ$ cạnh $a=4$. $O$ trùng với $D$; các vector $\overrightarrow{DA}, \overrightarrow{DC}, \overrightarrow{DQ}$ lần lượt cùng hướng với $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$. Vectơ $\overrightarrow{BN}$ được biểu diễn là:**
(A) $4\vec{i} + 4\vec{j} + 4\vec{k}$.
(B) $4\vec{k}$.
(C) $-4\vec{i} – 4\vec{j} + 4\vec{k}$.
(D) $4\vec{j} + 4\vec{k}$.
Đáp án đúng: (B)
Lời giải ngắn gọn: $a=4$. Trục $Ox$ theo $DA$, $Oy$ theo $DC$, $Oz$ theo $DQ$.
$A(4, 0, 0), C(0, 4, 0), D(0, 0, 0)$.
$B$ (đối diện $D$ ở đáy): $B(4, 4, 0)$.
$N$ (trên $B$): $N(4, 4, 4)$.
$
\overrightarrow{BN} = N – B = (4-4, 4-4, 4-0) = (0, 0, 4) = 4\vec{k}$.
**4. Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp chữ nhật $ABCD.MNPQ$ có $DA=10, DC=5, DQ=2$. $O$ trùng với $D$; các vector $\overrightarrow{DA}, \overrightarrow{DC}, \overrightarrow{DQ}$ lần lượt cùng hướng với $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$. Tính tọa độ của vectơ $\vec{u} = \overrightarrow{AP} + \overrightarrow{CN}$.**
Đáp án: $\vec{u} = (-10, 0, 4)$
Lời giải ngắn gọn: $D(0, 0, 0)$. $A(10, 0, 0), C(0, 5, 0)$.
$P$ (trên $C$): $P(0, 5, 2)$. $N$ (trên $B$): $B(10, 5, 0), N(10, 5, 2)$.
$
\overrightarrow{AP} = P – A = (0-10, 5-0, 2-0) = (-10, 5, 2)$.
$
\overrightarrow{CN} = N – C = (10-0, 5-5, 2-0) = (10, 0, 2)$.
$
\vec{u} = \overrightarrow{AP} + \overrightarrow{CN} = (-10+10, 5+0, 2+2) = (0, 5, 4)$.
**(Sửa lại đáp án/phép toán để có kết quả khác và phức tạp hơn, tránh bị nhầm lẫn giữa $D$ và $B$ trong phép tính vector):**
**4. Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp chữ nhật $ABCD.MNPQ$ có $DA=10, DC=5, DQ=2$. $O$ trùng với $D$; các vector $\overrightarrow{DA}, \overrightarrow{DC}, \overrightarrow{DQ}$ lần lượt cùng hướng với $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$. Tính tọa độ của vectơ $\vec{u} = \overrightarrow{AM} – \overrightarrow{CQ}$.**
Đáp án: $\vec{u} = (0, -5, 0)$
Lời giải ngắn gọn: $D(0, 0, 0)$. $A(10, 0, 0), C(0, 5, 0), Q(0, 0, 2)$.
$M$ (trên $A$): $M(10, 0, 2)$.
$
\overrightarrow{AM} = M – A = (0, 0, 2)$.
$
\overrightarrow{CQ} = Q – C = (0-0, 0-5, 2-0) = (0, -5, 2)$.
$
\vec{u} = \overrightarrow{AM} – \overrightarrow{CQ} = (0-0, 0-(-5), 2-2) = (0, 5, 0)$.
**5. Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp chữ nhật $ABCD.MNPQ$ có $DA=4, DC=3, DQ=12$. $O$ trùng với $D$; các vector $\overrightarrow{DA}$ cùng hướng $\vec{i}$, $\overrightarrow{DC}$ cùng hướng $\vec{j}$, $\overrightarrow{DQ}$ cùng hướng $\vec{k}$. Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{BN}$.**
(A) $\sqrt{169}$.
(B) 13.
(C) 12.
(D) 13,4.
Đáp án đúng: (B)
Lời giải ngắn gọn: $D(0, 0, 0)$. $A(4, 0, 0), C(0, 3, 0), Q(0, 0, 12)$.
$B(4, 3, 0), N(4, 3, 12)$.
$
\overrightarrow{BN} = N – B = (0, 0, 12)$.
Độ dài $|\overrightarrow{BN}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 12^2} = 12$. (Kiểm tra lại đề bài, nếu vector $\overrightarrow{BN}$ quá đơn giản, ta có thể đổi sang $\overrightarrow{AP}$)
**Sửa Câu 5: Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{AP}$.**
$A(4, 0, 0), P(0, 3, 12)$.
$
\overrightarrow{AP} = (-4, 3, 12)$.
$|\overrightarrow{AP}| = \sqrt{(-4)^2 + 3^2 + 12^2} = \sqrt{16 + 9 + 144} = \sqrt{169} = 13$.
Đáp án đúng: (B) 13.