Bài toán gốc
Trong không gian $Oxyz$, cho $M\left(1;-2;-1\right)$. Tìm tọa độ điểm $M’$ trên trục $Ox$ sao cho $MM’$ ngắn nhất
A. $M’\left(0;-2;-1\right)$ B. $M’\left(1;0;0\right)$ C. $M’\left(1;2;1\right)$ D. $M’\left(-1;-2;-1\right)$
Phân tích và Phương pháp giải
Đây là dạng toán tìm hình chiếu vuông góc của một điểm lên một trục tọa độ (hoặc một mặt phẳng). Khoảng cách $MM’$ ngắn nhất khi và chỉ khi $M’$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên trục (hoặc mặt phẳng) đó. Nếu $M(x_0, y_0, z_0)$ thì hình chiếu của $M$ lên trục $Ox$ là $M'(x_0, 0, 0)$.
Bài toán tương tự
1. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $Aig(3; -1; 5ig)$. Tìm tọa độ điểm $A’$ trên trục $Oy$ sao cho $AA’$ ngắn nhất.
A. $A’ig(3; 0; 5ig)$ B. $A’ig(0; -1; 5ig)$ C. $A’ig(3; -1; 0ig)$ D. $A’ig(0; -1; 0ig)$.
Đáp án đúng: D.
Giải thích: $A’$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên trục $Oy$. Tọa độ của $A’$ là $ig(0; -1; 0ig)$.
2. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $Big(-4; 7; -2ig)$. Tìm tọa độ điểm $B’$ trên trục $Oz$ sao cho khoảng cách $BB’$ là nhỏ nhất.
A. $B’ig(-4; 0; 0ig)$ B. $B’ig(0; 7; 0ig)$ C. $B’ig(0; 0; -2ig)$ D. $B’ig(-4; 7; 0ig)$.
Đáp án đúng: C.
Giải thích: $B’$ là hình chiếu vuông góc của $B$ lên trục $Oz$. Tọa độ của $B’$ là $ig(0; 0; -2ig)$.
3. Trong không gian $Oxyz$, cho $Cig(6; -2; 1ig)$. Tìm tọa độ điểm $C’$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $CC’$ ngắn nhất.
A. $C’ig(6; -2; 0ig)$ B. $C’ig(6; 0; 1ig)$ C. $C’ig(0; -2; 1ig)$ D. $C’ig(0; 0; 1ig)$.
Đáp án đúng: A.
Giải thích: $C’$ là hình chiếu vuông góc của $C$ lên mặt phẳng $(Oxy)$, giữ nguyên $x, y$ và $z=0$. Tọa độ $C’$ là $ig(6; -2; 0ig)$.
4. Trong không gian $Oxyz$, cho $Dig(-10; 3; 8ig)$. Tìm tọa độ điểm $D’$ trên mặt phẳng $(Oxz)$ sao cho khoảng cách $DD’$ là nhỏ nhất.
A. $D’ig(-10; 3; 0ig)$ B. $D’ig(0; 3; 8ig)$ C. $D’ig(-10; 0; 8ig)$ D. $D’ig(0; 0; 8ig)$.
Đáp án đúng: C.
Giải thích: $D’$ là hình chiếu vuông góc của $D$ lên mặt phẳng $(Oxz)$, $y=0$. Tọa độ $D’$ là $ig(-10; 0; 8ig)$.
5. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $Eig(5; 0; -9ig)$. Tính khoảng cách ngắn nhất từ $E$ đến trục $Oy$.
Đáp án: $d = rac{\sqrt{106}}{}$.
Lời giải ngắn gọn: Khoảng cách ngắn nhất từ $E$ đến trục $Oy$ là độ dài đoạn $EH$, trong đó $H$ là hình chiếu của $E$ lên $Oy$. $Hig(0; 0; 0ig)$. $d(E, Oy) = EH = rac{\sqrt{(5-0)^2 + (0-0)^2 + (-9-0)^2}}{} = rac{\sqrt{25 + 81}}{} = \sqrt{106}.$ (Lưu ý: Do $E$ nằm trên mặt phẳng $Oxz$, hình chiếu lên $Oy$ là gốc tọa độ $O$).