Trong không gian $Oxyz$, góc giữa $Ox$ và $(Oxy)$ bằng $60^{\circ}$

Bài toán gốc

Trong không gian $Oxyz$, góc giữa $Ox$ và $(Oxy)$ bằng
A. $60^{\circ}$ B. $45^{\circ}$ C. $90^{\circ}$ D. $0^{\circ}$

Phân tích và Phương pháp giải

Đây là dạng toán tìm góc giữa đường thẳng (trục tọa độ) và mặt phẳng tọa độ. Dựa trên kiến thức cơ bản về hình học trong không gian Oxyz, nếu đường thẳng nằm hoàn toàn trong mặt phẳng, góc giữa chúng là $0^{\circ}$ (như trong bài toán gốc, $Ox \subset (Oxy)$). Các bài toán tương tự sẽ tập trung vào việc tìm góc giữa các trục/mặt phẳng tọa độ cơ bản, hoặc sử dụng công thức $\sin \phi = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|}$ cho trường hợp tổng quát hơn.

Bài toán tương tự

5 bài toán tương tự:

**1.** Trong không gian $Oxyz$, góc giữa trục $Oy$ và mặt phẳng tọa độ $(Oyz)$ bằng bao nhiêu?
A. $90^{\circ}$ B. $0^{\circ}$ C. $45^{\circ}$ D. $60^{\circ}$.
Đáp án đúng: B. $0^{\circ}$.
Giải thích: Trục $Oy$ nằm hoàn toàn trong mặt phẳng $(Oyz)$. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng mà nó chứa bằng $0^{\circ}$.

**2.** Trong không gian $Oxyz$, góc giữa trục $Oz$ và mặt phẳng tọa độ $(Oxy)$ bằng bao nhiêu?
A. $0^{\circ}$ B. $30^{\circ}$ C. $60^{\circ}$ D. $90^{\circ}$.
Đáp án đúng: D. $90^{\circ}$.
Giải thích: Trục $Oz$ vuông góc với mặt phẳng $(Oxy)$ tại gốc $O$. Khi đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, góc giữa chúng bằng $90^{\circ}$.

**3.** Trong không gian $Oxyz$, góc giữa trục $Ox$ và mặt phẳng $(\alpha): x+y+\sqrt{2}z=0$ bằng:
A. $30^{\circ}$ B. $45^{\circ}$ C. $60^{\circ}$ D. $90^{\circ}$.
Đáp án đúng: A. $30^{\circ}$.
Giải thích: Trục $Ox$ có VTCP $\vec{u} = (1, 0, 0)$. Mặt phẳng $(\alpha)$ có VTPT $\vec{n} = (1, 1, \sqrt{2})$. Ta có $|\vec{u}| = 1$, $|\vec{n}| = \sqrt{1^2+1^2+2} = 2$. $\sin \phi = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{|1|}{1 \cdot 2} = \frac{1}{2}$. Suy ra $\phi = 30^{\circ}$.

**4.** Trong không gian $Oxyz$, góc giữa hai mặt phẳng tọa độ $(Oxy)$ và $(Oxz)$ bằng:
A. $0^{\circ}$ B. $45^{\circ}$ C. $90^{\circ}$ D. $60^{\circ}$.
Đáp án đúng: C. $90^{\circ}$.
Giải thích: $(Oxy)$ có VTPT $\vec{n}_1 = (0, 0, 1)$. $(Oxz)$ có VTPT $\vec{n}_2 = (0, 1, 0)$. $\cos \theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|} = \frac{0}{1 \cdot 1} = 0$. Suy ra $\theta = 90^{\circ}$.

**5.** Trong không gian $Oxyz$, cho $A(1, 0, 0)$. Góc giữa đường thẳng $OA$ và mặt phẳng $(\beta): x=0$ (mặt phẳng $(Oyz)$) bằng:
A. $0^{\circ}$ B. $30^{\circ}$ C. $60^{\circ}$ D. $90^{\circ}$.
Đáp án đúng: D. $90^{\circ}$.
Giải thích: Đường thẳng $OA$ trùng với trục $Ox$, có VTCP $\vec{u}=(1, 0, 0)$. Mặt phẳng $(\beta): x=0$ (mặt phẳng $(Oyz)$) có VTPT $\vec{n}=(1, 0, 0)$. Do $\vec{u}$ cùng phương với $\vec{n}$, đường thẳng $OA$ vuông góc với mặt phẳng $(\beta)$. Góc giữa chúng là $90^{\circ}$.