Bài toán gốc
Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.MNPQ$ có cạnh bằng $AB=6,AD=4$. Xét tính đúng sai của các phát biểu sau? a) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{CA}$ b) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{MP}$ c) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MC}$ d) $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{NP}|=10$
💡 Lời giải: (Sai) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{CA}$ (Vì): $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{MP}$ (Đúng) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{MP}$ (Sai) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MC}$ (Vì): $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AP}$ (Sai) $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{NP}|=10$ (Vì): $|\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{NP}|=|\overrightarrow{AC}|=AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=2\sqrt{13}$ (Sai) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{CA}$ (Đúng) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{MP}$ (Sai) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MC}$ (Sai) $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{NP}|=10$
Phân tích và Phương pháp giải
Dạng bài toán yêu cầu kiểm tra tính đúng sai của các đẳng thức vector và tính độ dài vector trong hình hộp chữ nhật. Phương pháp giải cơ bản là sử dụng các quy tắc cộng, trừ vector (quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp, quy tắc tam giác) và tính chất các vector bằng nhau (do tịnh tiến) trong hình học không gian. Khi tính độ dài, ta thường đơn giản hóa vector tổng/hiệu về một vector đường chéo hoặc vector cạnh, sau đó áp dụng Định lý Pitago trong mặt phẳng hoặc không gian.
Bài toán tương tự
1. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A’B’C’D’$ có $AB=3, AD=4, AA’=5$. Tính độ dài của vector $\vec{w} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA’}$. A. $|\vec{w}| = 7$ B. $|\vec{w}| = \sqrt{34}$ C. $|\vec{w}| = 5\sqrt{2}$ D. $|\vec{w}| = 5\sqrt{3}$. Đáp án đúng: C. Lời giải: Vector $\vec{w}$ chính là vector đường chéo không gian $\overrightarrow{AC’}$. Độ dài $|
A’C’| = \sqrt{AB^2+AD^2+AA’^2} = \sqrt{3^2+4^2+5^2} = \sqrt{9+16+25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$. 2. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A’B’C’D’$. Chứng minh đẳng thức vector sau: $\overrightarrow{A’C} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} – \overrightarrow{AA’}$. Đáp án: Đẳng thức đúng. Lời giải ngắn gọn: Ta có $\overrightarrow{A’C} = \overrightarrow{AC} – \overrightarrow{AA’}$ (quy tắc trừ vector). Mà $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$ (quy tắc hình bình hành). Thay vào ta được $\overrightarrow{A’C} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) – \overrightarrow{AA’}$. 3. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A’B’C’D’$ có $AB=a, AD=2a, AA’=3a$. Tính độ dài của vector $\vec{u} = \overrightarrow{AC’}$. A. $|\vec{u}| = a\sqrt{14}$ B. $|\vec{u}| = 3a$ C. $|\vec{u}| = a\sqrt{10}$ D. $|\vec{u}| = 2a\sqrt{3}$. Đáp án đúng: A. Lời giải: Vector $\vec{u}$ là đường chéo không gian $\overrightarrow{AC’}$. $|
A’C’| = \sqrt{a^2 + (2a)^2 + (3a)^2} = \sqrt{a^2 + 4a^2 + 9a^2} = \sqrt{14a^2} = a\sqrt{14}$. 4. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A’B’C’D’$. Khẳng định nào sau đây là SAI? A. $\overrightarrow{A’C’} = \overrightarrow{CA}$. B. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA’} = \overrightarrow{AC’}$. C. $\overrightarrow{BC} – \overrightarrow{B’C’} = \overrightarrow{0}$. D. $\overrightarrow{A’B} + \overrightarrow{A’D’} = \overrightarrow{A’C}$. Đáp án đúng: A. Lời giải: Ta có $\overrightarrow{A’C’} = \overrightarrow{AC}$ (do tịnh tiến), nhưng $\overrightarrow{AC}$ ngược hướng với $\overrightarrow{CA}$ (vì $\overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{CA}$ và chúng khác $\vec{0}$), do đó A sai. 5. Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$ có cạnh bằng $a$. Tính độ dài của vector $\vec{w} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{B’C’} + \overrightarrow{DA’}$. Đáp án: $a\sqrt{2}$. Lời giải ngắn gọn: Ta có $\overrightarrow{B’C’} = \overrightarrow{AD}$. Khi đó $\vec{w} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DA’}$. Áp dụng quy tắc tam giác: $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DA’} = \overrightarrow{AA’}$. Suy ra $\vec{w} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA’} = \overrightarrow{AB’}$. Vì là hình lập phương cạnh $a$, $AB’$ là đường chéo mặt bên. $|
AB’| = \sqrt{a^2+a^2} = a\sqrt{2}$.