Bài toán gốc
Cho tứ diện $MNPQ$. Gọi $F,K$ là trung điểm của $PQ$ và $MN$. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?
A. $2\overrightarrow{FK}=\overrightarrow{QK}+\overrightarrow{PK}$ B. $\overrightarrow{FK}=\dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{PM}+\overrightarrow{QN} \right)$. C. $\overrightarrow{FK}=\dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{MP}+\overrightarrow{NQ} \right)$. D. $2\overrightarrow{FK}=\overrightarrow{FM}+\overrightarrow{FN}$
💡 Lời giải: (Sai). $\overrightarrow{FK}=\dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{MP}+\overrightarrow{NQ} \right)$. (Vì): Ta có: $\overrightarrow{FK}=\overrightarrow{FQ}+\overrightarrow{QN}+\overrightarrow{NK}$ và $\overrightarrow{FK}=\overrightarrow{FP}+\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{MK}$nên $2\overrightarrow{FK}=\left( \overrightarrow{FP}+\overrightarrow{FQ} \right)+\overrightarrow{QN}+\overrightarrow{PM}+\left( \overrightarrow{MK}+\overrightarrow{NK} \right)=\overrightarrow{QN}+\overrightarrow{PM}$. Vậy $\overrightarrow{FK}=\dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{QN}+\overrightarrow{PM} \right)$ (Đúng). $2\overrightarrow{FK}=\overrightarrow{FM}+\overrightarrow{FN}$ (Vì): Công thức trung điểm (Đúng). $2\overrightarrow{FK}=\overrightarrow{QK}+\overrightarrow{PK}$ (Vì): Công thức trung điểm (Đúng). $\overrightarrow{FK}=\dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{PM}+\overrightarrow{QN} \right)$. (Vì): Ta có: $\overrightarrow{FK}=\overrightarrow{FQ}+\overrightarrow{QN}+\overrightarrow{NK}$ và $\overrightarrow{FK}=\overrightarrow{FP}+\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{MK}$nên $2\overrightarrow{FK}=\left( \overrightarrow{FP}+\overrightarrow{FQ} \right)+\overrightarrow{QN}+\overrightarrow{PM}+\left( \overrightarrow{MK}+\overrightarrow{NK} \right)=\overrightarrow{QN}+\overrightarrow{PM}$. Vậy $\overrightarrow{FK}=\dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{QN}+\overrightarrow{PM} \right)$
Phân tích và Phương pháp giải
Dạng toán này kiểm tra các công thức cơ bản về phép toán vector trong không gian, đặc biệt là các công thức liên quan đến trung điểm của đoạn thẳng. Phương pháp giải chủ yếu là sử dụng công thức vector trung điểm: Nếu $I$ là trung điểm của $AB$, thì với mọi điểm $O$, ta có $2 ovector{OI} = ovector{OA} + ovector{OB}$. Ngoài ra, ta sử dụng quy tắc cộng vector (Chasles) để thiết lập mối quan hệ giữa vector nối hai trung điểm của hai đoạn thẳng bất kỳ ($I$ là trung điểm $AB$, $J$ là trung điểm $CD$, ta có $2 ovector{IJ} = ovector{AD} + ovector{BC} = ovector{AC} + ovector{BD}$).
Bài toán tương tự
5 bài toán tương tự:
**Câu 1:** Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $I$ và $J$ lần lượt là trung điểm của cạnh $AB$ và $CD$. Chọn khẳng định SAI trong các khẳng định sau:
A. $2 ovector{IJ} = ovector{AC} + ovector{BD}$
B. $2 ovector{IJ} = ovector{DA} + ovector{CB}$
C. $2 ovector{JI} = ovector{CA} + ovector{DB}$
D. $2 ovector{IJ} = ovector{AD} + ovector{BC}$
Đáp án đúng: B.
Giải thích: Ta có công thức chuẩn $2 ovector{IJ} = ovector{AD} + ovector{BC}$. Khẳng định B là $2 ovector{IJ} = -( ovector{AD} + ovector{BC}) = -2 ovector{IJ}$. Điều này chỉ xảy ra khi $ ovector{IJ} = ovector{0}$, mà điều này sai trong trường hợp tổng quát.
**Câu 2:** Cho hai điểm $A, B$ và điểm $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$. $O$ là điểm bất kỳ trong không gian. Khẳng định nào sau đây luôn đúng?
A. $ ovector{AB} = 2 ovector{AI}$
B. $ ovector{OA} + ovector{OB} = ovector{AB}$
C. $2 ovector{OI} = ovector{OA} + ovector{OB}$
D. $ ovector{IA} = ovector{IB}$
Đáp án đúng: C.
Giải thích: Công thức $2 ovector{OI} = ovector{OA} + ovector{OB}$ là định nghĩa vector của trung điểm $I$ đối với điểm gốc $O$ bất kỳ. A là đúng, nhưng C là công thức nền tảng trong không gian. D là sai vì $ ovector{IA} = – ovector{IB}$.
**Câu 3:** Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$. Gọi $M$ là trung điểm của $AA’$. Biểu diễn vector $ ovector{DM}$ theo các vector $ ovector{DA}, ovector{DC}, ovector{DD’}$ là:
A. $ ovector{DM} = ovector{DA} + ovector{DC} + rac{1}{2} ovector{DD’}$
B. $ ovector{DM} = ovector{DA} + rac{1}{2} ovector{DC} + ovector{DD’}$
C. $ ovector{DM} = ovector{DA} + ovector{DD’} + rac{1}{2} ovector{AA’}$
D. $ ovector{DM} = ovector{DA} + rac{1}{2} ovector{AA’}$
Đáp án đúng: C.
Giải thích: Ta có $ ovector{DM} = ovector{DA} + ovector{AM}$. Vì $M$ là trung điểm $AA’$, nên $ ovector{AM} = rac{1}{2} ovector{AA’}$. Vậy $ ovector{DM} = ovector{DA} + rac{1}{2} ovector{AA’}$. Lưu ý rằng $ ovector{AA’} = ovector{DD’}$, nên đáp án cũng có thể viết là $ ovector{DA} + rac{1}{2} ovector{DD’}$. Tuy nhiên, trong các lựa chọn, C là biểu diễn chính xác nhất dựa trên vector $ ovector{AA’}$. (Đáp án D cũng đúng nhưng thiếu vector $ ovector{DC}$ trong biểu diễn 3 vector chuẩn của hình hộp, tuy nhiên nếu chỉ dùng $DA$ và $AA’$ thì D là công thức đúng nhất cho vị trí $M$). Chọn D dựa trên phép biến đổi Chasles cơ bản: $ ovector{DM} = ovector{DA} + ovector{AM} = ovector{DA} + rac{1}{2} ovector{AA’}$.
**Câu 4:** Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $I, J$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$. Khẳng định nào sau đây SAI?
A. $ ovector{AC} + ovector{AD} + ovector{BC} + ovector{BD} = 4 ovector{IJ}$
B. $ ovector{IA} + ovector{IB} + ovector{IC} + ovector{ID} = 2 ovector{IJ}$
C. $ ovector{AB} + ovector{CD} = 2 ovector{IJ}$
D. $ ovector{IJ} = rac{1}{2}( ovector{AD} + ovector{BC})$
Đáp án đúng: C.
Giải thích: D là công thức đúng (vector nối hai trung điểm). A là đúng: $ ovector{AC} + ovector{BC} = 2 ovector{IC}$, $ ovector{AD} + ovector{BD} = 2 ovector{ID}$. Tổng $2( ovector{IC} + ovector{ID})$. Vì $J$ là trung điểm $CD$, áp dụng công thức trung điểm tại $I$: $ ovector{IC} + ovector{ID} = 2 ovector{IJ}$. Vậy tổng bằng $4 ovector{IJ}$. B là đúng: $ ovector{IA} + ovector{IB} = ovector{0}$, nên tổng bằng $ ovector{IC} + ovector{ID} = 2 ovector{IJ}$. Khẳng định C là sai.
**Câu 5:** Cho tứ diện $ABCD$. $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$. Chọn khẳng định SAI.
A. $ ovector{AG} = rac{1}{3}( ovector{AB} + ovector{AC} + ovector{AD})$
B. $ ovector{GA} + ovector{GB} + ovector{GC} + ovector{GD} = ovector{GA}$
C. $ ovector{AB} + ovector{AC} + ovector{AD} = 3 ovector{AG}$
D. $3 ovector{GA} = ovector{GB} + ovector{GC} + ovector{GD}$
Đáp án đúng: D.
Giải thích: Vì $G$ là trọng tâm $ riangle BCD$, ta có $ ovector{GB} + ovector{GC} + ovector{GD} = ovector{0}$. Do đó, D trở thành $3 ovector{GA} = ovector{0}$, suy ra $ ovector{GA} = ovector{0}$, tức là $G ext{ trùng } A$, điều này là sai trong trường hợp tổng quát của tứ diện. A và C là công thức vector trọng tâm của tam giác $BCD$ đối với điểm $A$ bất kỳ, và B là đúng vì $ ovector{GB} + ovector{GC} + ovector{GD} = ovector{0}$.