Bài toán gốc
Cho hình hộp $MNPQ.M^{\prime}N^{\prime}P^{\prime}Q^{\prime}$. Tìm giá trị của $k$ thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: $\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{Q{P}^{\prime}}+(k-8)\left( \overrightarrow{NQ}+\overrightarrow{M^{\prime}N} \right)=\overrightarrow{0}$.
A. $9$ B. $7$ C. $6$ D. $11$
💡 Lời giải: $\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{QP^{\prime}}+\left( \overrightarrow{NQ}+\overrightarrow{M^{\prime}N} \right)=\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{QP^{\prime}}+\overrightarrow{M^{\prime}Q}=\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{M^{\prime}P^{\prime}}=\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{0}$. Nên $k-8=1\Leftrightarrow k=9$.
Phân tích và Phương pháp giải
Dạng bài toán yêu cầu tìm hằng số $k$ để thỏa mãn một đẳng thức vectơ $\overrightarrow{V_1} + (k-C)\overrightarrow{V_2} = \overrightarrow{0}$ trong hình hộp. Phương pháp giải là sử dụng quy tắc cộng vectơ (quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành) và các tính chất về đẳng thức vectơ trong hình hộp (các cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau, các vectơ đường chéo) để rút gọn các tổng vectơ $\overrightarrow{V_1}$ và $\overrightarrow{V_2}$. Mục tiêu là tìm mối quan hệ giữa $\overrightarrow{V_1}$ và $\overrightarrow{V_2}$ (thường là $\overrightarrow{V_1} = -\overrightarrow{V_2}$ hoặc $\overrightarrow{V_1} = N\overrightarrow{V_2}$) để giải phương trình cho $k$. Trong bài toán gốc, ta rút gọn được $\overrightarrow{V_1} + \overrightarrow{V_2} = \overrightarrow{0}$, suy ra $k-C = 1$.
Bài toán tương tự
5 bài toán tương tự như sau:
**1.** Cho hình hộp $MNPQ.M^{\prime}N^{\prime}P^{\prime}Q^{\prime}$. Tìm giá trị của $k$ thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: $\left( \overrightarrow{M Q} + \overrightarrow{Q N} + \overrightarrow{N P} \right) + (k-5) \overrightarrow{P^{\prime} M^{\prime}} = \overrightarrow{0}$.
A. $4$ B. $5$ C. $6$ D. $7$
Đáp án đúng: C. $6$
Lời giải ngắn gọn: Rút gọn $V_1 = \overrightarrow{M Q} + \overrightarrow{Q N} + \overrightarrow{N P} = \overrightarrow{M P}$. Ta có $V_2 = \overrightarrow{P^{\prime} M^{\prime}}$. Vì $M N P Q$ và $M^{\prime} N^{\prime} P^{\prime} Q^{\prime}$ là các mặt đối diện, $\overrightarrow{P^{\prime} M^{\prime}} = -\overrightarrow{M P}$, nên $V_1 = -V_2$. Đẳng thức trở thành $V_1 + (k-5)(-V_1) = \overrightarrow{0} \Rightarrow 1 – (k-5) = 0 \Rightarrow k = 6$.
**2.** Cho hình hộp $MNPQ.M^{\prime}N^{\prime}P^{\prime}Q^{\prime}$. Tìm giá trị của $k$ thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: $\left( \overrightarrow{M M^{\prime}} + \overrightarrow{M Q} + \overrightarrow{M N} \right) + (k+3) \overrightarrow{P^{\prime} M} = \overrightarrow{0}$.
A. $-4$ B. $-2$ C. $1$ D. $2$
Đáp án đúng: B. $-2$
Lời giải ngắn gọn: $V_1 = \overrightarrow{M M^{\prime}} + \overrightarrow{M Q} + \overrightarrow{M N}$. Theo quy tắc hình hộp, $V_1 = \overrightarrow{M P^{\prime}}$. $V_2 = \overrightarrow{P^{\prime} M}$. Ta thấy $V_1 = -V_2$. Đẳng thức trở thành $-V_2 + (k+3)V_2 = \overrightarrow{0} \Rightarrow k+3 – 1 = 0 \Rightarrow k = -2$.
**3.** Cho hình hộp $MNPQ.M^{\prime}N^{\prime}P^{\prime}Q^{\prime}$. Tìm giá trị của $k$ thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: $\left( \overrightarrow{N P} + \overrightarrow{M^{\prime} Q^{\prime}} \right) + (k-10) \overrightarrow{Q M} = \overrightarrow{0}$.
A. $10$ B. $11$ C. $12$ D. $13$
Đáp án đúng: C. $12$
Lời giải ngắn gọn: $V_1 = \overrightarrow{N P} + \overrightarrow{M^{\prime} Q^{\prime}}$. Trong hình bình hành $MNPQ$, $\overrightarrow{N P} = \overrightarrow{M Q}$. Vì $M N P Q$ song song $M^{\prime} N^{\prime} P^{\prime} Q^{\prime}$, $\overrightarrow{M^{\prime} Q^{\prime}} = \overrightarrow{M Q}$. Vậy $V_1 = 2\overrightarrow{M Q}$. $V_2 = \overrightarrow{Q M}$. Do $\overrightarrow{M Q} = -\overrightarrow{Q M}$, ta có $V_1 = -2 V_2$. Đẳng thức là $-2 V_2 + (k-10)V_2 = \overrightarrow{0} \Rightarrow k-10 – 2 = 0 \Rightarrow k = 12$.
**4.** Cho hình hộp $MNPQ.M^{\prime}N^{\prime}P^{\prime}Q^{\prime}$. Tìm giá trị của $k$ thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: $\left( \overrightarrow{N^{\prime} P^{\prime}} + \overrightarrow{N^{\prime} M^{\prime}} + \overrightarrow{N^{\prime} N} \right) + (12-k) \overrightarrow{N^{\prime} Q} = \overrightarrow{0}$.
A. $13$ B. $12$ C. $11$ D. $14$
Đáp án đúng: A. $13$
Lời giải ngắn gọn: $V_1 = \overrightarrow{N^{\prime} P^{\prime}} + \overrightarrow{N^{\prime} M^{\prime}} + \overrightarrow{N^{\prime} N}$. Đây là tổng ba vectơ cạnh xuất phát từ đỉnh $N^{\prime}$, nên $V_1 = \overrightarrow{N^{\prime} Q}$ (đường chéo của hình hộp). $V_2 = \overrightarrow{N^{\prime} Q}$. Ta có $V_1 = V_2$. Đẳng thức trở thành $V_2 + (12-k)V_2 = \overrightarrow{0} \Rightarrow 1 + 12 – k = 0 \Rightarrow k = 13$.
**5.** Cho hình hộp $MNPQ.M^{\prime}N^{\prime}P^{\prime}Q^{\prime}$. Tìm giá trị của $k$ thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: $\left( \overrightarrow{M N^{\prime}} + \overrightarrow{Q P^{\prime}}
ight) + (k+1) \overrightarrow{P^{\prime} P} = \overrightarrow{0}$.
A. $0$ B. $1$ C. $-1$ D. $2$
Đáp án đúng: B. $1$
Lời giải ngắn gọn: $V_1 = \overrightarrow{M N^{\prime}} + \overrightarrow{Q P^{\prime}}$. Phân tích: $\overrightarrow{M N^{\prime}} = \overrightarrow{M N} + \overrightarrow{N N^{\prime}}$. $\overrightarrow{Q P^{\prime}} = \overrightarrow{Q P} + \overrightarrow{P P^{\prime}}$. $V_1 = (\overrightarrow{M N} + \overrightarrow{Q P}) + (\overrightarrow{N N^{\prime}} + \overrightarrow{P P^{\prime}})$. Do $M N P Q$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{M N} + \overrightarrow{Q P} = \overrightarrow{0}$. Vì $\overrightarrow{N N^{\prime}} = \overrightarrow{P P^{\prime}}$, $V_1 = 2 \overrightarrow{P P^{\prime}}$. $V_2 = \overrightarrow{P^{\prime} P} = -\overrightarrow{P P^{\prime}}$. Vậy $V_1 = -2 V_2$. Đẳng thức là $-2 V_2 + (k+1)V_2 = \overrightarrow{0} \Rightarrow k+1 – 2 = 0 \Rightarrow k = 1$.