Cho hàm số $y=f(x)=\dfrac{-3x^2+5x+2}{-x+5}$. Xét tính đúng sai của các phát biểu sau?

Bài toán gốc

Cho hàm số $y=f(x)=\dfrac{-3x^2+5x+2}{-x+5}$. Xét tính đúng sai của các phát biểu sau?

a) Đồ thị hàm số $y=f(x)$ cắt trục $Oy$ tại điểm có tung độ bằng $\dfrac{2}{5}$.

b) Đồ thị hàm số $y=f(x)$ và trục hoành có 2 giao điểm.

c) $y^{\prime}{<}0\Leftrightarrow x\in \left(-\infty;1\right)\cup \left(9;+\infty\right)$.

d) $f(-5)=-\dfrac{49}{5}$.

Lời giải:
(Đúng) Đồ thị hàm số $y=f(x)$ cắt trục $Oy$ tại điểm có tung độ bằng $\dfrac{2}{5}$.
(Vì): Cho $x=0$ thì $y=\dfrac{2}{5}$.
(Đúng) Đồ thị hàm số $y=f(x)$ và trục hoành có 2 giao điểm.
(Vì): Bấm máy phương trình $-3x^2+5x+2=0$ có hai nghiệm phân biệt.
(Sai) $y^{\prime}{<}0\Leftrightarrow x\in \left(-\infty;1\right)\cup \left(9;+\infty\right)$.
(Vì): $y^{\prime}{<}0\Leftrightarrow \dfrac{3x^2-30x+27}{(-x+5)^2}{<}0\Leftrightarrow x\in \left(1;5\right)\cup \left(5;9\right)$.
(Đúng) $f(-5)=-\dfrac{49}{5}$.
(Vì): $f(-5)=-\dfrac{49}{5}$.

Phân tích và Phương pháp giải

Dạng bài toán yêu cầu kiểm tra các tính chất cơ bản của hàm số hữu tỉ bậc hai trên bậc nhất ($y = \frac{ax^2+bx+c}{dx+e}$). Các tính chất được kiểm tra bao gồm: 1) Giao điểm với trục tung (cho $x=0$). 2) Giao điểm với trục hoành (giải phương trình tử số bằng 0). 3) Dấu của đạo hàm ($y’$) để xác định tính đồng biến/nghịch biến (tìm $y’$ và xét dấu). 4) Tính giá trị hàm số tại một điểm cụ thể.

Bài toán tương tự

1. Cho hàm số $y=f(x)=\dfrac{x^2-3x+2}{x-4}$. Phát biểu nào sau đây là SAI? A. Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ $-\dfrac{1}{2}$. B. Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt. C. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty; 2) \cup (6; +\infty)$. D. $f(5)=12$. Đáp án đúng: C. Lời giải ngắn gọn: $y(0)=-1/2$. $x^2-3x+2=0$ có 2 nghiệm $x=1, x=2$. $y’=\dfrac{x^2-8x+10}{(x-4)^2}$. $y’>0$ khi $x^2-8x+10>0$. Nghiệm của tử số là $4\pm\sqrt{6}$. Khoảng đồng biến là $(-\infty; 4-\sqrt{6}) \cup (4+\sqrt{6}; +\infty)$. Phát biểu C sai vì các khoảng này không trùng khớp. 2. Cho hàm số $y=f(x)=\dfrac{2x^2+7x+3}{x+3}$. Xác định tập hợp $x$ để hàm số nghịch biến. A. $(-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$ B. $\mathbb{R}$ C. $\emptyset$ D. $(-3; +\infty)$. Đáp án đúng: C. Lời giải ngắn gọn: Ta có $y = \dfrac{(2x+1)(x+3)}{x+3} = 2x+1$ với $x \ne -3$. Đạo hàm $y’=2>0$. Hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định. Tập $x$ để hàm số nghịch biến là tập rỗng $\emptyset$. 3. Cho hàm số $y=f(x)=\dfrac{x^2-10x+20}{x-3}$. Xét các mệnh đề sau: (1) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ dương. (2) $f(0)=-\dfrac{20}{3}$. (3) Hàm số đạt cực trị tại $x=1$ và $x=5$. Hỏi có bao nhiêu mệnh đề đúng? A. 0 B. 1 C. 2 D. 3. Đáp án đúng: C. Lời giải ngắn gọn: (1) $x^2-10x+20=0$ có 2 nghiệm $5\pm\sqrt{5}$, đều dương. (Đúng). (2) $f(0) = 20/(-3)$. (Đúng). (3) $y’ = \dfrac{x^2-6x+10}{(x-3)^2}$. Tử số $x^2-6x+10=0$ có $\Delta’=-1<0$, vô nghiệm. Hàm số không có cực trị. (Sai). Có 2 mệnh đề đúng. 4. Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số $y=f(x)=\dfrac{-x^2+4x-3}{x-2}$ với trục $Oy$. A. $(0; 1,5)$ B. $(0; -1,5)$ C. $(1,5; 0)$ D. $(0; 3)$. Đáp án đúng: A. Lời giải ngắn gọn: Giao điểm với $Oy$ xảy ra khi $x=0$. $y(0) = \dfrac{-3}{-2} = 1,5$. Tọa độ là $(0; 1,5)$. 5. Cho hàm số $y=f(x)=\dfrac{2x^2+x-1}{x+2}$. Tính giá trị $P = 2f(-1) + f(2)$. Đáp án: $P=\dfrac{9}{4}$. Lời giải ngắn gọn: $f(-1) = \dfrac{2(-1)^2+(-1)-1}{-1+2} = 0$. $f(2) = \dfrac{2(2)^2+2-1}{2+2} = \dfrac{9}{4}$. $P = 2(0) + \dfrac{9}{4} = \dfrac{9}{4}$.