Cho hàm số $y=\dfrac{3x+2}{x+2}$ có đồ thị là $\left( C \right)$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Bài toán gốc

Cho hàm số $y=\dfrac{3x+2}{x+2}$ có đồ thị là $\left( C \right)$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Đường thẳng $y=3$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $\left( C \right)$.

b) Điểm $I\left( -2;3 \right)$ là giao điểm của các đường tiệm cận của đồ thị $\left( C \right)$.

c) Đồ thị $\left( C \right)$ cắt đường thẳng $y=x+2$ tại hai điểm phân biệt.

d) Đường thẳng $y=x$ cắt $\left( C \right)$ tại hai điểm $A,B$. Biết đường thẳng $y=x+k$ cắt $\left( C \right)$ tại $C,D$ thì $ABCD$ là hình bình hành khi đó $k{>}5$.

Lời giải:
(Sai) Đường thẳng $y=3$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $\left( C \right)$.
(Vì): Sai: Đường thẳng $x=-2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $\left( C \right)$.

(Đúng) Điểm $I\left( -2;3 \right)$ là giao điểm của các đường tiệm cận của đồ thị $\left( C \right)$.
(Vì): Đúng: Điểm $I\left( -2;3 \right)$ là giao điểm của các đường tiệm cận của đồ thị $\left( C \right)$.

(Đúng) Đồ thị $\left( C \right)$ cắt đường thẳng $y=x+2$ tại hai điểm phân biệt.
(Vì): Đúng: Đồ thị $\left( C \right)$ cắt đường thẳng $y=x+2$ tại hai điểm phân biệt

(Đúng) Đường thẳng $y=x$ cắt $\left( C \right)$ tại hai điểm $A,B$. Biết đường thẳng $y=x+k$ cắt $\left( C \right)$ tại $C,D$ thì $ABCD$ là hình bình hành khi đó $k{>}5$.
(Vì): Đúng: Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( C \right)$ và đường thẳng $y=x$
$\dfrac{3x+2}{x+2}=x\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-2=0\Leftrightarrow x=-1,x=2$ $\Rightarrow A\left( -1;-1 \right),B\left( 2;2 \right)$
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( C \right)$ và đường thẳng $y=x+m$
$\dfrac{3x+2}{x+2}=x+m\Leftrightarrow {{x}^{2}}+\left( m-1 \right)x+2m-2=0$ $\left( 1 \right)$
Đường thẳng $y=x+m$ cắt $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt $C,D$ $\Leftrightarrow$ $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ khác $-2$ $\Leftrightarrow \left( m-1 \right)\left( m-9 \right){>}0\Leftrightarrow m\in \left( -\infty ;1 \right)\cup \left( 9;+\infty \right)$
Khi đó : $C\left( {{x}_{1}};{{x}_{1}}+m \right),D\left( {{x}_{2}};{{x}_{2}}+m \right)$, $ABCD$ là hình bình hành $\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$
$\Leftrightarrow {{x}_{2}}-{{x}_{1}}=3$ $\Leftrightarrow \sqrt{\Delta }=3\Leftrightarrow \Delta =9\Leftrightarrow {{m}^{2}}-10m+9=9\Leftrightarrow m=0,m=10$
Kiểm tra thấy $m=10$ là giá trị cần tìm.

Phân tích và Phương pháp giải

Dạng bài tập này yêu cầu nhận dạng các yếu tố cơ bản của đồ thị hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất $y = \frac{ax+b}{cx+d}$, bao gồm: xác định tiệm cận đứng (TCD) $x = -d/c$ và tiệm cận ngang (TCN) $y = a/c$. Ngoài ra, bài toán còn kết hợp kiến thức về giải phương trình hoành độ giao điểm để xác định số lượng giao điểm và sử dụng Định lý Vieta cùng với tính chất hình học (ví dụ: trung điểm, hình bình hành) để tìm tham số.

Bài toán tương tự

Tuyển tập 5 bài toán tương tự về đồ thị hàm số $y = \frac{2x+1}{x-1}$.

1) Cho hàm số $y = \frac{2x+1}{x-1}$. Tọa độ giao điểm $I$ của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số là:
A. $I(2; 1)$
B. $I(1; 2)$
C. $I(-1; 2)$
D. $I(2; -1)$
Đáp án đúng: B. Lời giải ngắn gọn: Tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=2$. Giao điểm $I(1; 2)$.

2) Cho hàm số $y = \frac{5x-3}{x+2}$. Khẳng định nào sau đây là SAI?
A. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là $y=5$.
B. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x=-2$.
C. Giao điểm của hai đường tiệm cận là $I(-2; 5)$.
D. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x=5$.
Đáp án đúng: D. Lời giải ngắn gọn: TCD là nghiệm của mẫu số $x+2=0 \Leftrightarrow x=-2$. Khẳng định D sai.

3) Cho hàm số $y = \frac{x+5}{x-2}$. Số giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng $y = x+1$ là:
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Đáp án đúng: C. Lời giải ngắn gọn: Phương trình hoành độ giao điểm: $\frac{x+5}{x-2} = x+1 \Leftrightarrow x+5 = (x+1)(x-2) \Leftrightarrow x^2 – 2x – 7 = 0$. Phương trình bậc hai này có $\Delta’ = 1 – 1(-7) = 8 > 0$ và nghiệm khác 2. Vậy có 2 giao điểm.

4) Cho hàm số $y = \frac{2x-3}{x-m}$. Tìm $m$ để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng đi qua điểm $A(2; 5)$.
A. $m = 2$
B. $m = -2$
C. $m = 5$
D. $m = -5$
Đáp án đúng: A. Lời giải ngắn gọn: TCD là $x=m$. TCD đi qua $A(2; 5)$ khi $x_A = m$, tức là $m=2$. (Với $m=2$, hàm số trở thành $y = \frac{2x-3}{x-2}$ vẫn là hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất).

5) Cho hàm số $y = \frac{2x+1}{x-1}$ có đồ thị $(C)$. Đường thẳng $d: y = x+k$ cắt $(C)$ tại hai điểm $A, B$. Gọi $I(1; 2)$ là giao điểm của hai tiệm cận. Để $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$, giá trị của $k$ là:
A. $k = 1$
B. $k = 3$
C. $k = 2$
D. $k = -1$
Đáp án đúng: A. Lời giải ngắn gọn: $I(1; 2)$ là tâm đối xứng của đồ thị $(C)$. Để $I$ là trung điểm của $AB$, đường thẳng $d$ phải đi qua $I$. Thay $I(1; 2)$ vào $y = x+k$: $2 = 1+k \Rightarrow k=1$. Với $k=1$, phương trình hoành độ giao điểm cho 2 nghiệm phân biệt.