`Cho $(C):y=\dfrac{3x+1}{2x-2},d:y=-x+m$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $-23\leq m\leq 23$ để $(C)$ và $d$ cắt nhau tại 2 điểm?

Bài toán gốc

Cho $(C):y=\dfrac{3x+1}{2x-2},d:y=-x+m$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $-23\leq m\leq 23$ để $(C)$ và $d$ cắt nhau tại 2 điểm?

A. $41$.B. $42$.C. $44$.D. $40$.

Lời giải: $\Delta=4m^2-20m-7$

Phân tích và Phương pháp giải

Dạng bài toán yêu cầu tìm tham số $m$ để đồ thị hàm phân thức $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ và đường thẳng $y = kx+m$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt. Phương pháp giải là lập phương trình hoành độ giao điểm, quy đồng mẫu số để đưa về phương trình bậc hai dạng $Ax^2+Bx+C=0$ (với $x \neq \frac{-d}{c}$). Điều kiện để có hai giao điểm phân biệt là phương trình bậc hai phải có hai nghiệm phân biệt, tức là $\Delta > 0$, và nghiệm đó không được trùng với nghiệm làm mẫu số bằng 0. Trong hầu hết các bài toán dạng này, điều kiện nghiệm khác giá trị cấm luôn được thỏa mãn.

Bài toán tương tự

1. Cho đồ thị $(C):y=\dfrac{2x+3}{x-1}$ và đường thẳng $d:y=x+m$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ trong đoạn $[-5; 5]$ để $(C)$ và $d$ cắt nhau tại 2 điểm phân biệt?

A. $10$. B. $11$. C. $9$. D. $12$.

Đáp án đúng: B.
Lời giải ngắn gọn: Phương trình hoành độ giao điểm là $x^2 + (m-3)x – (m+3) = 0$. Ta kiểm tra $x=1$: $1 + m-3 – m-3 = -5 \neq 0$. Điều kiện $\Delta > 0$. $\Delta = m^2 – 2m + 21$. Vì $\Delta_m = 4 – 4(21) < 0$ và hệ số bậc hai dương, nên $\Delta > 0$ với mọi $m \in \mathbb{R}$. Trong đoạn $[-5; 5]$, có $5 – (-5) + 1 = 11$ giá trị nguyên của $m$.

2. Cho $(C):y=\dfrac{x+5}{x+2}$ và đường thẳng $d:y=2x+m$. Tìm số giá trị nguyên của $m$ thuộc $[-10; 10]$ để $(C)$ và $d$ cắt nhau tại 2 điểm phân biệt.

A. $19$. B. $20$. C. $21$. D. $22$.

Đáp án đúng: C.
Lời giải ngắn gọn: Phương trình hoành độ giao điểm: $2x^2 + (m+3)x + (2m-5) = 0$. (Kiểm tra $x=-2$ thỏa mãn). Điều kiện $\Delta > 0$. $\Delta = m^2 – 10m + 49$. Vì $\Delta_m = 100 – 4(49) < 0$, nên $\Delta > 0$ với mọi $m \in \mathbb{R}$. Trong đoạn $[-10; 10]$, có $10 – (-10) + 1 = 21$ giá trị nguyên của $m$.

3. Cho $(C):y=\dfrac{x+2}{x-1}$ và đường thẳng $d:y=-x+m$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $[-5; 5]$ để $(C)$ và $d$ cắt nhau tại 2 điểm phân biệt?

A. $3$. B. $4$. C. $5$. D. $7$.

Đáp án đúng: B.
Lời giải ngắn gọn: Phương trình hoành độ giao điểm: $x^2 + (1-m)x + (m+2) = 0$. (Kiểm tra $x=1$ thỏa mãn). Điều kiện $\Delta > 0$. $\Delta = m^2 – 6m – 7$. Ta cần $m^2 – 6m – 7 > 0$, suy ra $m < -1$ hoặc $m > 7$. Xét $m \in [-5; 5]$: Nếu $m < -1$, ta có $m \in \{-5, -4, -3, -2\}$ (4 giá trị). Nếu $m > 7$, không có giá trị nào trong đoạn. Vậy có 4 giá trị nguyên.

4. Cho đồ thị $(C):y=\dfrac{4x+1}{x-3}$ và đường thẳng $d:y=x+m$. Tìm tất cả các giá trị nguyên của $m$ thuộc $[-10; 10]$ để $(C)$ và $d$ cắt nhau tại 2 điểm phân biệt.

A. $18$. B. $19$. C. $20$. D. $21$.

Đáp án đúng: D.
Lời giải ngắn gọn: Phương trình hoành độ giao điểm: $x^2 + (m-7)x – (3m+1) = 0$. (Kiểm tra $x=3$ thỏa mãn). Điều kiện $\Delta > 0$. $\Delta = (m-7)^2 – 4(1)(-(3m+1)) = m^2 – 14m + 49 + 12m + 4 = m^2 – 2m + 53$. Vì $\Delta_m = 4 – 4(53) < 0$ và hệ số bậc hai dương, nên $\Delta > 0$ với mọi $m \in \mathbb{R}$. Trong đoạn $[-10; 10]$, có 21 giá trị nguyên của $m$.

5. Cho $(C):y=\dfrac{2x-1}{x+1}$ và đường thẳng $d:y=3x+m$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $[-15; 15]$ để $(C)$ và $d$ cắt nhau tại 2 điểm phân biệt?

A. $16$. B. $18$. C. $20$. D. $17$.

Đáp án đúng: B.
Lời giải ngắn gọn: Phương trình hoành độ giao điểm: $3x^2 + (m+1)x + (m+1) = 0$. (Kiểm tra $x=-1$ thỏa mãn). Điều kiện $\Delta > 0$. $\Delta = (m+1)^2 – 12(m+1) = (m+1)(m-11)$. Ta cần $(m+1)(m-11) > 0$, suy ra $m < -1$ hoặc $m > 11$. Xét $m \in [-15; 15]$: Nếu $m < -1$, ta có $m \in \{-15, ..., -2\}$ (14 giá trị). Nếu $m > 11$, ta có $m \in \{12, 13, 14, 15\}$ (4 giá trị). Tổng cộng $14 + 4 = 18$ giá trị nguyên.