Đồ thị hàm số $y=\dfrac{4 x^{2} – 7 x – 4}{x + 6}$ có tâm đối xứng là $I(h;k)$. Giá trị của biểu thức $P=h+2k$ bằng

Bài toán gốc

Đồ thị hàm số $y=\dfrac{4 x^{2} – 7 x – 4}{x + 6}$ có tâm đối xứng là $I(h;k)$. Giá trị của biểu thức $P=h+2k$ bằng

A. $P=-118$.B. $P=-119$.C. $P=-117$.D. $P=-116$.

Lời giải: Ta có $a=\underset{x\to +\infty }{\lim }\dfrac{f(x)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\dfrac{4 x^{2} – 7 x – 4}{x \left(x + 6\right)}=4$.
$b=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f(x)-4x\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\dfrac{4 x^{2} – 7 x – 4}{x + 6}-4x\right)=-31$.
Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là $y=4 x – 31$.
Mặt khác, $x=-6$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Ta có tâm đối xứng của của đồ thị hàm số trên là giao điểm của $y=4 x – 31$ và $x=-6$.
Suy ra $I(-6;-55)$.
Vậy $P=1\cdot\left(-6\right) + \left(2\right)\cdot\left(-55\right)=-116$.

Phân tích và Phương pháp giải

Đây là dạng toán xác định tâm đối xứng của đồ thị hàm số hữu tỉ có bậc tử lớn hơn bậc mẫu 1 đơn vị, dạng $y = \dfrac{Ax^2 + Bx + C}{Dx + E}$. Tâm đối xứng $I(h;k)$ chính là giao điểm của đường tiệm cận đứng (TCĐ) và đường tiệm cận xiên (TCX). TCĐ được xác định từ nghiệm của mẫu số ($x = -E/D$). TCX $y=ax+b$ được xác định bằng cách chia đa thức hoặc dùng giới hạn $a = \lim_{x\to\infty} \dfrac{f(x)}{x}$, $b = \lim_{x\to\infty} [f(x) – ax]$. Sau khi tìm được $h$ và $k$, ta tính giá trị biểu thức $P$ theo yêu cầu.

Bài toán tương tự

{
“cau_1”: “Câu 1: Đồ thị hàm số $y=\dfrac{2x^2 + 5x – 1}{x – 3}$ có tâm đối xứng là $I(h;k)$. Giá trị của biểu thức $P=2h+k$ bằng
\nA. $P=23$.B. $P=20$.C. $P=21$.D. $P=22$.”,
“dap_an_1”: “Đáp án đúng: A. $P=23$. Lời giải ngắn gọn: TCĐ là $x=3$, suy ra $h=3$. TCX là $y=2x+11$. Tung độ $k=2(3)+11=17$. $I(3;17)$. Vậy $P=2(3)+17=23$.”,
“cau_2”: “Câu 2: Đồ thị hàm số $y=\dfrac{-x^2 + 3x + 2}{x + 4}$ có tâm đối xứng là $I(h;k)$. Giá trị của biểu thức $P=h-k$ bằng
\nA. $P=-13$.B. $P=-14$.C. $P=-15$.D. $P=-16$.”,
“dap_an_2”: “Đáp án đúng: C. $P=-15$. Lời giải ngắn gọn: TCĐ là $x=-4$, suy ra $h=-4$. TCX là $y=-x+7$. Tung độ $k=-(-4)+7=11$. $I(-4;11)$. Vậy $P=-4-11=-15$.”,
“cau_3”: “Câu 3: Đồ thị hàm số $y=\dfrac{x^2 – x + 5}{2x – 4}$ có tâm đối xứng là $I(h;k)$. Giá trị của biểu thức $P=4h+k$ bằng
\nA. $P=8.5$.B. $P=9.5$.C. $P=10.5$.D. $P=7.5$.”,
“dap_an_3”: “Đáp án đúng: B. $P=9.5$. Lời giải ngắn gọn: TCĐ là $x=2$, suy ra $h=2$. TCX là $y=\dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2}$. Tung độ $k=\dfrac{1}{2}(2) + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}$. $I(2; 3/2)$. Vậy $P=4(2) + 3/2 = 8 + 1.5 = 9.5$.”,
“cau_4”: “Câu 4: Đồ thị hàm số $y=\dfrac{3x^2 + 10x – 8}{x + 5}$ có tâm đối xứng là $I(h;k)$. Giá trị của biểu thức $P=h+3k$ bằng
\nA. $P=-60$.B. $P=-65$.C. $P=-70$.D. $P=-75$.”,
“dap_an_4”: “Đáp án đúng: B. $P=-65$. Lời giải ngắn gọn: TCĐ là $x=-5$, suy ra $h=-5$. TCX là $y=3x-5$. Tung độ $k=3(-5)-5=-20$. $I(-5;-20)$. Vậy $P=-5+3(-20)=-65$.”,
“cau_5”: “Câu 5: Đồ thị hàm số $y=\dfrac{5x^2 – 4x + 1}{x – 2}$ có tâm đối xứng là $I(h;k)$. Giá trị của biểu thức $P=k-5h$ bằng
\nA. $P=4$.B. $P=6$.C. $P=8$.D. $P=10$.”,
“dap_an_5”: “Đáp án đúng: B. $P=6$. Lời giải ngắn gọn: TCĐ là $x=2$, suy ra $h=2$. TCX là $y=5x+6$. Tung độ $k=5(2)+6=16$. $I(2;16)$. Vậy $P=16-5(2)=6$.”
}