Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y=\dfrac{x^{3}}{3} + \dfrac{3 x^{2}}{2} – 10 x + 20$ là

Bài toán gốc

Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y=\dfrac{x^{3}}{3} + \dfrac{3 x^{2}}{2} – 10 x + 20$ là

A. $\left(-5;2\right)$.B. $\left(2;\dfrac{26}{3}\right)$.C. $\left(-5;\dfrac{395}{6}\right)$.D. $\left(- \dfrac{3}{2};\dfrac{149}{4}\right)$.

Lời giải: Tập xác định: $\mathscr{D}=\mathbb{R}$.
Ta có $y^{\prime}=x^{2} + 3 x – 10$.
$y^{\prime\prime}=2 x + 3$.
$y^{\prime\prime}=0\Leftrightarrow 2 x + 3=0\Leftrightarrow x=- \dfrac{3}{2}$.
Khi đó $y\left(- \dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{149}{4}$.
Vậy tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số đã cho là $\left(- \dfrac{3}{2};\dfrac{149}{4}\right)$.

Phân tích và Phương pháp giải

Dạng bài toán yêu cầu xác định tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số bậc ba $y=ax^3+bx^2+cx+d$. Tâm đối xứng của đồ thị hàm số bậc ba chính là điểm uốn của đồ thị, được tìm bằng cách giải phương trình đạo hàm cấp hai $y”=0$. Nếu $x_0$ là nghiệm của $y”=0$, thì tọa độ tâm đối xứng là $(x_0, y(x_0))$.

Bài toán tương tự

5 bài toán tương tự:

**1.** Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y=x^3 – 3x^2 + 5x + 1$ là:

A. $(1, 4)$ B. $(-1, 0)$ C. $(0, 1)$ D. $(2, 7)$

Đáp án đúng: A. Lời giải: Ta có $y’=3x^2-6x+5$, $y”=6x-6$. Giải $y”=0$ ta được $x=1$. Thay $x=1$ vào hàm số, $y(1)=1-3+5+1=4$. Vậy tâm đối xứng là $(1, 4)$.

**2.** Tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = 2x^3 + 6x^2 – x + 7$ có tọa độ là:

A. $(1, 14)$ B. $(-1, 12)$ C. $(0, 7)$ D. $(-1, 16)$

Đáp án đúng: B. Lời giải: Ta có $y’=6x^2+12x-1$, $y”=12x+12$. Giải $y”=0$ ta được $x=-1$. Thay $x=-1$ vào hàm số, $y(-1)=2(-1)^3 + 6(-1)^2 – (-1) + 7 = 12$. Tâm đối xứng là $(-1, 12)$.

**3.** Tìm tọa độ điểm uốn (tâm đối xứng) của đồ thị hàm số $y = -x^3 + 9x^2 – 4$.

A. $(3, 50)$ B. $(1, 4)$ C. $(0, -4)$ D. $(3, 54)$

Đáp án đúng: A. Lời giải: Ta có $y’=-3x^2+18x$, $y”=-6x+18$. Giải $y”=0$ ta được $x=3$. Thay $x=3$ vào hàm số, $y(3)=-27+81-4=50$. Tọa độ điểm uốn là $(3, 50)$.

**4.** Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = \dfrac{1}{6}x^3 – x^2 + 3x – 1$ là:

A. $(2, 7/3)$ B. $(1, 5/6)$ C. $(0, -1)$ D. $(-2, -31/3)$

Đáp án đúng: A. Lời giải: Ta có $y’=\dfrac{1}{2}x^2-2x+3$, $y”=x-2$. Giải $y”=0$ ta được $x=2$. Thay $x=2$ vào hàm số, $y(2)=\dfrac{1}{6}(8) – 4 + 6 – 1 = \dfrac{4}{3} + 1 = \dfrac{7}{3}$. Tâm đối xứng là $(2, 7/3)$.

**5.** Cho hàm số $y = -4x^3 + 12x^2 + 2x – 5$. Xác định tọa độ tâm đối xứng $I$ của đồ thị hàm số.

A. $I(0, -5)$ B. $I(1, 5)$ C. $I(-1, 23)$ D. $I(1, 1)$

Đáp án đúng: B. Lời giải: Ta có $y’=-12x^2+24x+2$, $y”=-24x+24$. Giải $y”=0$ ta được $x=1$. Thay $x=1$ vào hàm số, $y(1)=-4+12+2-5=5$. Tâm đối xứng là $I(1, 5).