Xét tính đúng sai của các phát biểu sau:

a) Đồ thị hàm số $y=\dfrac{x+1}{3x+2}$ không có tiệm cận.

b) Đồ thị hàm số $y=\dfrac{-x+2}{2x-4}$ không có tiệm cận đứng.

Bài toán gốc

Xét tính đúng sai của các phát biểu sau:

a) Đồ thị hàm số $y=\dfrac{x+1}{3x+2}$ không có tiệm cận.

b) Đồ thị hàm số $y=\dfrac{-x+2}{2x-4}$ không có tiệm cận đứng.

c) Đồ thị hàm số $y=\dfrac{-x+1}{3x-1}$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-\dfrac{1}{3}$, tiệm cận ngang là $y=\dfrac{1}{3}$.

d) Đồ thị hàm số $y=\dfrac{x^2-3x-1}{-x+1}$ có tiệm cận.

Lời giải:
(Sai) Đồ thị hàm số $y=\dfrac{x+1}{3x+2}$ không có tiệm cận.
(Vì): Hàm phân thức bậc nhất có $ad-bc\neq 0$ có một tiệm cận đứng $x=-\dfrac{d}{c}$ và một tiệm cận ngang $y=\dfrac{a}{c}$.
(Đúng) Đồ thị hàm số $y=\dfrac{-x+2}{2x-4}$ không có tiệm cận đứng.
(Vì): Hàm phân thức bậc nhất có $ad-bc=0$ thì không có tiệm cận đứng.
(Sai) Đồ thị hàm số $y=\dfrac{-x+1}{3x-1}$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-\dfrac{1}{3}$, tiệm cận ngang là $y=\dfrac{1}{3}$.
(Vì): Hàm phân thức bậc nhất có $ad-bc\neq 0$ có một tiệm cận đứng $x=-\dfrac{d}{c}=\dfrac{1}{3}$ và một tiệm cận ngang $y=\dfrac{a}{c}=-\dfrac{1}{3}$.
(Đúng) Đồ thị hàm số $y=\dfrac{x^2-3x-1}{-x+1}$ có tiệm cận.
(Vì): Xét mẫu $-x+1=0\Leftrightarrow x=1$. Nhận thấy $x=1$ không là nghiệm của phương trình $x^2-3x-1=0$ nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng và tiệm cận xiên.

Phân tích và Phương pháp giải

Dạng bài tập là xét tính đúng sai về sự tồn tại và phương trình của các đường tiệm cận (đứng, ngang, xiên) của đồ thị hàm số, chủ yếu là hàm phân thức hữu tỉ. Phương pháp giải dựa trên việc xác định giới hạn của hàm số khi biến $x$ tiến ra vô cùng (tìm tiệm cận ngang $y=a$) và khi $x$ tiến đến nghiệm của mẫu số (tìm tiệm cận đứng $x=x_0$). Đặc biệt, cần chú ý đến trường hợp hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ có $ad-bc=0$ (hàm số bị suy biến, không có tiệm cận đứng) và trường hợp bậc tử lớn hơn bậc mẫu 1 đơn vị (có tiệm cận xiên).

Bài toán tương tự

Cho các phát biểu sau về tiệm cận của đồ thị hàm số: (I) Đồ thị hàm số $y=\dfrac{x-5}{2x+4}$ có tiệm cận đứng là $x=2$ và tiệm cận ngang là $y=\dfrac{1}{2}$. (II) Đồ thị hàm số $y=\dfrac{x^2+2x+3}{x+1}$ có tiệm cận xiên. (III) Đồ thị hàm số $y=\dfrac{2x^2+x-1}{x^2+3}$ có hai tiệm cận ngang. Hỏi có bao nhiêu phát biểu đúng? A. 0 B. 1 C. 2 D. 3\n\nĐáp án đúng: C\nLời giải ngắn gọn:\n(I) Xét hàm số $y=\dfrac{x-5}{2x+4}$. Tiệm cận đứng là nghiệm của mẫu: $2x+4=0 \Leftrightarrow x=-2$. Tiệm cận ngang là $y=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x-5}{2x+4} = \dfrac{1}{2}$. Phát biểu này SAI (vì TCĐ là $x=-2$ chứ không phải $x=2$).\n(II) Xét hàm số $y=\dfrac{x^2+2x+3}{x+1}$. Bậc tử (2) lớn hơn bậc mẫu (1) 1 đơn vị. Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên. Phát biểu này ĐÚNG.\n(III) Xét hàm số $y=\dfrac{2x^2+x-1}{x^2+3}$. Tiệm cận ngang là $y=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{2x^2+x-1}{x^2+3} = 2$. Đồ thị hàm số chỉ có một tiệm cận ngang là $y=2$. Phát biểu này SAI (chỉ có MỘT tiệm cận ngang). \nVậy có 1 phát biểu đúng (II).