Xét tính đúng sai của các phát biểu sau:

a) Đồ thị hàm số $y=x^3-2x^2-3x+1$ có tiệm cận.

Bài toán gốc

Xét tính đúng sai của các phát biểu sau:

a) Đồ thị hàm số $y=x^3-2x^2-3x+1$ có tiệm cận.

b) Đồ thị hàm số $y=\dfrac{-x-1}{3x+4}$ có tiệm cận.

c) Đồ thị hàm số $y=\dfrac{x+4}{3x+12}$ không có tiệm cận đứng.

d) Đồ thị hàm số $y=\dfrac{-x+3}{x+3}$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-3$, tiệm cận ngang là $y=-1$.

Lời giải:
(Sai) Đồ thị hàm số $y=x^3-2x^2-3x+1$ có tiệm cận.
(Vì): Hàm bậc 3 không có tiệm cận.
(Đúng) Đồ thị hàm số $y=\dfrac{-x-1}{3x+4}$ có tiệm cận.
(Vì): Hàm phân thức bậc nhất có $ad-bc\neq 0$ có một tiệm cận đứng $x=-\dfrac{d}{c}$ và một tiệm cận ngang $y=\dfrac{a}{c}$.
(Đúng) Đồ thị hàm số $y=\dfrac{x+4}{3x+12}$ không có tiệm cận đứng.
(Vì): Hàm phân thức bậc nhất có $ad-bc=0$ thì không có tiệm cận đứng.
(Đúng) Đồ thị hàm số $y=\dfrac{-x+3}{x+3}$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-3$, tiệm cận ngang là $y=-1$.
(Vì): Hàm phân thức bậc nhất có $ad-bc\neq 0$ có một tiệm cận đứng $x=-\dfrac{d}{c}$ và một tiệm cận ngang $y=\dfrac{a}{c}$.

Phân tích và Phương pháp giải

Dạng bài toán: Xét tính đúng sai của các phát biểu liên quan đến tiệm cận đứng (TCĐ) và tiệm cận ngang (TCN) của đồ thị hàm số. Phương pháp giải: Áp dụng các quy tắc tìm tiệm cận cho hàm đa thức (không có tiệm cận) và hàm phân thức bậc nhất $y=\dfrac{Ax+B}{Cx+D}$. Đối với hàm phân thức $y=\dfrac{Ax+B}{Cx+D}$: 1. Nếu $AD-BC \neq 0$: Có TCĐ $x = -D/C$ và TCN $y=A/C$. 2. Nếu $AD-BC = 0$: Hàm số rút gọn thành hằng số (với điều kiện xác định) và không có TCĐ, TCN là hằng số đó.

Bài toán tương tự

Xét các phát biểu sau:

(I) Đồ thị hàm số $y=2x^3-x+5$ không có tiệm cận.

(II) Đồ thị hàm số $y=\dfrac{2x+5}{x-1}$ có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=2$.

(III) Đồ thị hàm số $y=\dfrac{x^2+3}{2x-1}$ có tiệm cận ngang $y=1/2$.

(IV) Đồ thị hàm số $y=\dfrac{3x+6}{x+2}$ có tiệm cận đứng $x=-2$.

Hỏi có bao nhiêu phát biểu đúng?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Đáp án đúng: B.

Lời giải ngắn gọn:

(I) Đúng. Hàm đa thức bậc 3 không có tiệm cận.

(II) Đúng. Hàm phân thức bậc nhất/bậc nhất, $ad-bc = 2(-1) – 5(1) = -7 \neq 0$. TCĐ: $x=1$, TCN: $y=2/1 = 2$.

(III) Sai. Bậc tử lớn hơn bậc mẫu ($2>1$), không có TCN (có tiệm cận xiên).

(IV) Sai. Xét $y=\dfrac{3x+6}{x+2} = \dfrac{3(x+2)}{x+2}$. Khi $x \neq -2$, $y=3$. Đây là hàm hằng (trên miền xác định), không có tiệm cận đứng.