Cho hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}-2x+3}{x+2}$.

Bài toán gốc

Cho hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}-2x+3}{x+2}$.

a) Tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -2 \right\}$.

b) Hàm số có cực trị.

c) Đồ thị hàm số cắt trục hoành.

d) Đồ thị hàm số nhận điểm $I\left( -2;6 \right)$ làm tâm đối xứng.

Lời giải: Đúng. Điều kiện xác định $x\ne -2$ nên tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -2 \right\}$.
Sai. ${y}’=\dfrac{\left( 2x-2 \right)\left( x+2 \right)-\left( {{x}^{2}}-2x+3 \right)}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}=\dfrac{{{x}^{2}}+4x-7}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}$.
Ta có ${{x}^{2}}+4x-7=0$ có hai nghiệm phân biệt $\ne -2$ nên hàm số có hai cực trị.
Đúng. Ta có phương trình $\dfrac{{{x}^{2}}-2x+3}{x+2}=0$ vô nghiệm nên đồ thị hàm số không cắt trục hoành.
Sai. Ta có $f\left( x \right)=x-4+\dfrac{11}{x+2}$ do đó đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là $y=x-4$ và tiệm cận đứng là $x=-2$.
Đồ thị hàm số nhận giao của hai đường tiệm cận đứng và tiệm cận xiên làm tâm đối xứng nên đồ thị hàm số nhận điểm $I\left( -2;-6 \right)$ làm tâm đối xứng.
(Đúng) Tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -2 \right\}$.
(Đúng) Hàm số có cực trị.
(Sai) Đồ thị hàm số cắt trục hoành.
(Sai) Đồ thị hàm số nhận điểm $I\left( -2;6 \right)$ làm tâm đối xứng.

Phân tích và Phương pháp giải

Bài toán yêu cầu phân tích các tính chất cơ bản của hàm số hữu tỉ dạng $y = \frac{Ax^2+Bx+C}{Dx+E}$, bao gồm: tập xác định (điều kiện mẫu số khác 0), cực trị (dấu của đạo hàm bậc nhất), giao điểm với trục hoành (nghiệm của tử số), và tâm đối xứng (giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận xiên, tìm được bằng cách chia đa thức).

Bài toán tương tự

Cho hàm số $g(x) = \dfrac{x^2 + 3x + 4}{x – 1}$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào SAI?
A. Tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.
B. Đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là $y=x+4$.
C. Hàm số có hai điểm cực trị.
D. Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.

Đáp án đúng: D
Lời giải ngắn gọn:
Ta có $g'(x) = \dfrac{x^2 – 2x – 7}{(x – 1)^2}$. Phương trình tử số $x^2 – 2x – 7 = 0$ có $\Delta’ = 1 – (-7) = 8 > 0$, nên hàm số có hai cực trị (C đúng).
Phân tích hàm số: $g(x) = x + 4 + \dfrac{8}{x – 1}$. Tiệm cận xiên là $y=x+4$ (B đúng). Tập xác định $x \ne 1$ (A đúng).
Để tìm giao điểm với trục hoành, giải phương trình $x^2 + 3x + 4 = 0$. Ta có $\Delta = 3^2 – 4(1)(4) = 9 – 16 = -7 < 0$. Do đó, phương trình vô nghiệm, đồ thị hàm số không cắt trục hoành. Khẳng định D là SAI.