Bài toán gốc
Cho hàm số $(C):y=f(x)=\dfrac{mx-1}{2x-4}$. Khi đó
a) Nếu $m=-2$ thì đường thẳng $y=1$ là tiện cận ngang của $(C)$.
b) Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng khi $m\ne \dfrac{1}{2}$.
c) Điểm $(2;3)$ là tâm đối xứng của đồ thị hàm số khi $m=6$.
d) $\forall m\in \mathbb{R}$ ta có tiệm cận ngang của $(C)$ là đường thẳng $y=\dfrac{m}{2}$.
Lời giải: Ta có TCĐ: $x=2$ và $\lim\limits_{x\to \pm \infty }f(x)=\dfrac{m}{2}\Rightarrow TCN:y=\dfrac{m}{2}$.
?Với $m=-1$ thì TCN: $y=-1\Rightarrow$ a sai.
?Hàm số có TCĐ khi $m\cdot 2+1\ne 0\Leftrightarrow m\ne \dfrac{-1}{2}\Rightarrow$ b đúng.
?Điểm $(2;3)$ là tâm đối xứng của $(C)\Leftrightarrow (2;3)=\left( 2;\dfrac{m}{2} \right)\Leftrightarrow \dfrac{m}{2}=3\Leftrightarrow m=6\Rightarrow$ c đúng.
?Do $\lim\limits_{x\to \pm \infty }f(x)=\dfrac{m}{2}\Rightarrow TCN:y=\dfrac{m}{2}$ xác định với mọi số thực $m\Rightarrow$ d đúng.
(Sai) Nếu $m=-2$ thì đường thẳng $y=1$ là tiện cận ngang của $(C)$.
(Đúng) Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng khi $m\ne \dfrac{1}{2}$.
(Đúng) Điểm $(2;3)$ là tâm đối xứng của đồ thị hàm số khi $m=6$.
(Đúng) $\forall m\in \mathbb{R}$ ta có tiệm cận ngang của $(C)$ là đường thẳng $y=\dfrac{m}{2}$.
Phân tích và Phương pháp giải
Đây là dạng bài toán khảo sát các yếu tố hình học của đồ thị hàm số hữu tỉ bậc nhất trên bậc nhất $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ có chứa tham số $m$, cụ thể là Tiệm cận đứng (TCĐ), Tiệm cận ngang (TCN) và Tâm đối xứng. Phương pháp giải là áp dụng công thức: TCN là đường thẳng $y = a/c$. TCĐ là đường thẳng $x = -d/c$ (chỉ khi tử số $ax+b$ khác 0 tại $x=-d/c$). Tâm đối xứng là giao điểm của hai tiệm cận $I(-d/c; a/c)$.
Bài toán tương tự
Cho hàm số $y=\dfrac{(m-1)x+3}{x+2}$. Trong các khẳng định sau, có bao nhiêu khẳng định đúng?\nA. Hàm số luôn có tiệm cận ngang $y=m-1$ với mọi $m \in \mathbb{R}$.\nB. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=-2$ khi $m \ne 5/2$.\nC. Với $m=3$, đồ thị hàm số nhận điểm $I(-2; 2)$ làm tâm đối xứng.\nD. Khi $m=1$, đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là $y=1$.\n\nĐáp án đúng: Có 3 khẳng định đúng (A, B, C).\nLời giải ngắn gọn: TCN: $y = \dfrac{m-1}{1} = m-1$. (A đúng). TCĐ: $x=-2$. TCĐ tồn tại khi $(m-1)(-2)+3 \ne 0 \Leftrightarrow -2m+5 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 5/2$. (B đúng). Tâm đối xứng là $I(-2; m-1)$. Nếu $m=3$, $I(-2; 3-1) = I(-2; 2)$. (C đúng). Nếu $m=1$, TCN là $y = 1-1=0$. (D sai).