Cho hàm số $y=f(x)=\dfrac{-x-3}{4x+2}$. Xét tính đúng sai của các phát biểu sau:

Bài toán gốc

Cho hàm số $y=f(x)=\dfrac{-x-3}{4x+2}$. Xét tính đúng sai của các phát biểu sau:

a) Đồ thị hàm số $y=f(x)$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-\dfrac{1}{2}$.

b) Đồ thị hàm số $y=f(x)$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=\dfrac{1}{2}$.

c) Đồ thị hàm số $y=f(x)$ có tiệm cận ngang là đường thẳng $y=-\dfrac{1}{4}$.

d) Đồ thị hàm số $y=f(x)$ có tiệm cận ngang là đường thẳng $y=-\dfrac{1}{2}$.

Lời giải: Tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-\dfrac{d}{c}=-\dfrac{1}{2}$. Tiệm cận ngang là đường thẳng $y=\dfrac{a}{c}=-\dfrac{1}{4}$.
(Đúng) Đồ thị hàm số $y=f(x)$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-\dfrac{1}{2}$.
(Sai) Đồ thị hàm số $y=f(x)$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=\dfrac{1}{2}$.
(Đúng) Đồ thị hàm số $y=f(x)$ có tiệm cận ngang là đường thẳng $y=-\dfrac{1}{4}$.
(Sai) Đồ thị hàm số $y=f(x)$ có tiệm cận ngang là đường thẳng $y=-\dfrac{1}{2}$.

Phân tích và Phương pháp giải

Đây là dạng bài toán xác định tiệm cận đứng (TCĐ) và tiệm cận ngang (TCN) của hàm số hữu tỉ bậc nhất trên bậc nhất, $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$. Phương pháp giải là áp dụng công thức: Tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-\dfrac{d}{c}$ (nghiệm của mẫu số) và Tiệm cận ngang là đường thẳng $y=\dfrac{a}{c}$ (tỉ số các hệ số của x).

Bài toán tương tự

Cho hàm số $y=g(x)=\dfrac{5x-1}{2x+8}$. Tìm phương trình đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
A. TCĐ: $x=4$, TCN: $y=5/2$.
B. TCĐ: $x=-4$, TCN: $y=5/2$.
C. TCĐ: $x=-4$, TCN: $y=-1/8$.
D. TCĐ: $x=8$, TCN: $y=5$.

Đáp án đúng: B.

Lời giải ngắn gọn:
Hàm số có dạng $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ với $a=5, b=-1, c=2, d=8$.
Tiệm cận đứng (TCĐ) là nghiệm của mẫu số: $2x+8=0 \implies x=-4$.
Tiệm cận ngang (TCN) là tỉ số $\dfrac{a}{c}$: $y=\dfrac{5}{2}$.