Bài toán gốc
Cho hàm số $y=f(x)=\dfrac{4x-2}{-x+m}$. Xét tính đúng sai của các phát biểu sau?
a) Khi $m=1$ thì đồ thị hàm số $y=f(x)$ có đường tiệm cận đứng có phương trình $x=-1$.
b) Khi $m=5$ thì đồ thị hàm số $y=f(x)$ có đường tiệm cận ngang có phương trình $y=-4$.
c) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng có phương trình $x=-3$ khi $m=-3$.
d) Số giá trị nguyên $m\in [-28;38]$ để đồ thị hàm số $y=f(x)$ có đường tiệm cận đứng là $1$.
Lời giải:
(Sai) Khi $m=1$ thì đồ thị hàm số $y=f(x)$ có đường tiệm cận đứng có phương trình $x=-1$.
(Vì): Đường tiệm cận đứng có phương trình dạng $x=-\dfrac{d}{c}=1$.
(Đúng) Khi $m=5$ thì đồ thị hàm số $y=f(x)$ có đường tiệm cận ngang có phương trình $y=-4$.
(Vì): Đường tiệm cận ngang có phương trình dạng $y=\dfrac{a}{c}=-4$.
(Đúng) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng có phương trình $x=-3$ khi $m=-3$.
(Vì): $-\dfrac{d}{c}=-3\Leftrightarrow -\dfrac{m}{-1}=-3\Leftrightarrow m=-3$.
(Sai) Số giá trị nguyên $m\in [-28;38]$ để đồ thị hàm số $y=f(x)$ có đường tiệm cận đứng là $1$.
(Vì): Đồ thị hàm số $y=f(x)$ không có tiệm cận đứng khi $ad-bc\neq 0 \Leftrightarrow m\neq \dfrac{1}{2}$, (không nguyên) nên có số giá trị $m$ thỏa mãn là $0$.
Phân tích và Phương pháp giải
Đây là dạng bài tập kiểm tra kiến thức về các đường tiệm cận của hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$. Phương pháp giải là áp dụng công thức: Tiệm cận ngang (TCN) là $y=\dfrac{a}{c}$, tiệm cận đứng (TCĐ) là nghiệm của mẫu số $cx+d=0$, tức là $x=-\dfrac{d}{c}$, với điều kiện $ad-bc \neq 0$ để đảm bảo đồ thị không bị suy biến thành đường thẳng (không có TCĐ).
Bài toán tương tự
Cho hàm số $y=g(x)=\dfrac{2x-1}{x+m}$. Mệnh đề nào sau đây là ĐÚNG?A) Khi $m=3$, đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng có phương trình $x=-3$.B) Đồ thị hàm số luôn có đường tiệm cận ngang có phương trình $y=1$.C) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=4$ khi $m=4$.D) Số giá trị nguyên $m\in [-10; 10]$ để đồ thị hàm số $y=g(x)$ có đường tiệm cận đứng là $20$.Đáp án đúng: A.Lời giải ngắn gọn: Hàm số có $a=2, b=-1, c=1, d=m$.TCĐ là $x=-\dfrac{d}{c}=-m$. TCN là $y=\dfrac{a}{c}=2$. Điều kiện tồn tại TCĐ là $ad-bc=2m+1 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq -1/2$.A) $m=3$. TCĐ $x=-m=-3$. (Đúng).B) TCN $y=2$. Phát biểu $y=1$ là Sai.C) TCĐ $x=-m$. Nếu $m=4$, TCĐ là $x=-4$. Phát biểu $x=4$ là Sai.D) $m \in [-10; 10]$ có $21$ giá trị nguyên. Vì $m \neq -1/2$ luôn thỏa mãn với mọi $m$ nguyên, nên số giá trị $m$ để có TCĐ là $21$. Phát biểu là $20$ là Sai.