Cho hàm số $y = \dfrac{-3x-3}{3x+2}$. Hãy xét tính đúng sai các khẳng định sau?

Bài toán gốc

Cho hàm số $y = \dfrac{-3x-3}{3x+2}$. Hãy xét tính đúng sai các khẳng định sau?

a) Tập xác định của hàm số là $\mathscr{D} = \mathbb{R} \setminus \left\{{-\dfrac{2}{3}}\right\}$.

b) Đạo hàm $y^{\prime} = \dfrac{-15}{(3x+2)^2}$.

c) Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó.

d) Đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của hàm số là $x = -\dfrac{2}{3}$ ; $y = -1$.

Lời giải:
(Đúng) Tập xác định của hàm số là $\mathscr{D} = \mathbb{R} \setminus \left\{{-\dfrac{2}{3}}\right\}$
(Vì): Tập xác định của hàm số là $\mathscr{D} = \mathbb{R} \setminus \left\{{-\dfrac{2}{3}}\right\}$.
(Sai) Đạo hàm $y^{\prime} = \dfrac{-15}{(3x+2)^2}$
(Vì): Đạo hàm $y^{\prime} = \dfrac{3}{(3x+2)^2}$.
(Sai) Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó.
(Vì): Vì $y^{\prime} = \dfrac{3}{(3x+2)^2} {>} 0$ với mọi $x \neq -\dfrac{2}{3}$ nên hàm số đồng biến trên các khoảng $\left(-\infty; -\dfrac{2}{3}\right)$ và $\left(-\dfrac{2}{3}; +\infty\right)$.
(Đúng) Đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của hàm số là $x = -\dfrac{2}{3}$ ; $y = -1$
(Vì): Đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của hàm số là $x = -\dfrac{2}{3}$ ; $y = -1$.

Phân tích và Phương pháp giải

Dạng bài toán yêu cầu phân tích các tính chất cơ bản của hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất $y = \dfrac{ax+b}{cx+d}$, bao gồm: 1) Tìm tập xác định ($\\mathscr{D} = \\mathbb{R} \\setminus \\left\{{-\dfrac{d}{c}}\\right\\}$); 2) Tính đạo hàm bằng công thức nhanh $y’ = \dfrac{ad-bc}{(cx+d)^2}$; 3) Xét chiều biến thiên dựa trên dấu của đạo hàm; 4) Tìm phương trình tiệm cận đứng ($x = -d/c$) và tiệm cận ngang ($y = a/c$).

Bài toán tương tự

Cho hàm số $y = \dfrac{2x-1}{x+3}$. Khẳng định nào sau đây là SAI?\r\nA) Tập xác định của hàm số là $\\mathscr{D} = \\mathbb{R} \\setminus \\left\{{-3}\\right\\}$.\r\nB) Hàm số có tiệm cận đứng $x = -3$ và tiệm cận ngang $y = 2$.\r\nC) Đạo hàm của hàm số là $y’ = \dfrac{7}{(x+3)^2}$.\r\nD) Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó.\r\n\r\nĐáp án đúng: D\r\nGiải thích:\r\nTa có $a=2, b=-1, c=1, d=3$.\r\n1. Tập xác định: $x+3 \neq 0 \implies x \neq -3$. Khẳng định A đúng.\r\n2. Tiệm cận: TCD $x = -3$, TCN $y = \dfrac{2}{1} = 2$. Khẳng định B đúng.\r\n3. Đạo hàm: $y’ = \dfrac{2(3) – (-1)(1)}{(x+3)^2} = \dfrac{6+1}{(x+3)^2} = \dfrac{7}{(x+3)^2}$. Khẳng định C đúng.\r\n4. Chiều biến thiên: Vì $y’ = \dfrac{7}{(x+3)^2} {>} 0$ với mọi $x \neq -3$, hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; -3)$ và $(-3; +\infty)$. Khẳng định D (hàm số nghịch biến) là sai.