Cho hàm số $y=f(x)=\dfrac{-x^2+3x}{x+m}$. Xét tính đúng sai của các phát biểu sau?

a) Khi $m=-1$ thì đồ thị hàm số $y=f(x)$ có đường tiệm cận đứng có phương trình $x=1$.

Bài toán gốc

Cho hàm số $y=f(x)=\dfrac{-x^2+3x}{x+m}$. Xét tính đúng sai của các phát biểu sau?

a) Khi $m=-1$ thì đồ thị hàm số $y=f(x)$ có đường tiệm cận đứng có phương trình $x=1$.

b) Khi $m=3$ thì đồ thị hàm số $y=f(x)$ có đường tiệm cận xiên có phương trình $y=-x$.

c) Tổng các giá trị của $m$ để “đồ thị hàm số $y=f(x)$ không có tiệm cận đứng” bằng $-3$.

d) Để đồ thị hàm số $y=f(x)$ có đường tiệm cận xiên có phương trình $y=-x+7$ thì $m=5$.

Lời giải:
(Đúng) Khi $m=-1$ thì đồ thị hàm số $y=f(x)$ có đường tiệm cận đứng có phương trình $x=1$.
(Vì): Tiệm cận đứng $x=-\dfrac{e}{d}=1$.
(Sai) Khi $m=3$ thì đồ thị hàm số $y=f(x)$ có đường tiệm cận xiên có phương trình $y=-x$.
(Vì): Tiệm cận xiên $y=\dfrac{{{a}_{1}}}{{{a}_{2}}}x-\dfrac{{{a}_{1}}{{b}_{2}}-{{a}_{2}}{{b}_{1}}}{a_{2}^{2}}=-x+6$.
(Đúng) Tổng các giá trị của $m$ để “đồ thị hàm số $y=f(x)$ không có tiệm cận đứng” bằng $-3$.
(Vì): Đồ thị hàm số trên không có tiệm cận đứng khi nghiệm của mẫu cũng là nghiệm của tử. Xét $-x^2+3x=0\Leftrightarrow x_1=0,x_2=3$. nên $-\dfrac{m}{1}=0\Leftrightarrow m=0$; $-\dfrac{m}{1}=3\Leftrightarrow m=-3$.
Vậy tổng các giá trị $m$ bằng $-3$.
(Sai) Để đồ thị hàm số $y=f(x)$ có đường tiệm cận xiên có phương trình $y=-x+7$ thì $m=5$.
(Vì): Tiệm cận xiên $y=\dfrac{{{a}_{1}}}{{{a}_{2}}}x-\dfrac{{{a}_{1}}{{b}_{2}}-{{a}_{2}}{{b}_{1}}}{a_{2}^{2}}$ nên $\dfrac{m+3}{1}=7\Leftrightarrow m=4$.

Phân tích và Phương pháp giải

Bài toán kiểm tra kiến thức về tiệm cận của hàm phân thức hữu tỉ có dạng $y=\dfrac{Ax^2+Bx}{Cx+D}$. Phương pháp giải dựa trên việc xác định Tiệm cận đứng (TCD) và Tiệm cận xiên (TCX). TCD: Đồ thị có TCD $x=x_0$ nếu $x_0$ là nghiệm của mẫu số nhưng không là nghiệm của tử số. TCX: Khi bậc tử lớn hơn bậc mẫu 1 đơn vị, phương trình TCX được xác định bằng cách chia đa thức: $y = ax+b$. Bài toán cũng đề cập đến trường hợp đặc biệt không tồn tại TCD khi nghiệm của mẫu số trùng với nghiệm của tử số (lỗ thủng).

Bài toán tương tự

Cho hàm số $y=g(x)=\dfrac{x^2+4x}{x-m}$. Tìm giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là $y=x+6$. A. $m=-2$ B. $m=-10$ C. $m=2$ D. $m=10$\nĐáp án đúng: A. $m=-2$\nLời giải ngắn gọn: Thực hiện phép chia đa thức $x^2+4x$ cho $x-m$. Ta có $x^2+4x = (x-m)(x) + (m+4)x$. Để xác định TCX, ta chia tiếp:\n$y = \dfrac{x^2+4x}{x-m} = x + (m+4) + \dfrac{m(m+4)}{x-m}$.\nPhương trình tiệm cận xiên là $y = x + (m+4)$.\nTheo đề bài, TCX là $y=x+6$. Ta cần $m+4 = 6$, suy ra $m=2$. (Lưu ý: Nếu sử dụng phép chia tiêu chuẩn $x^2+4x = (x-m)(x+m+4) + m(m+4)$, TCX là $y=x+m+4$. Đề bài gốc có thể có sai sót trong việc đặt $m$. Ta kiểm tra lại phép chia.\n$x^2+4x = (x-m)(x) + mx + 4x = x(x-m) + (m+4)x$. Chưa hết.\n$x^2+4x = (x-m)(x + (m+4)) + m(m+4)$.\nTCX là $y=x+m+4$. Ta cần $x+m+4 = x+6$. Suy ra $m+4=6$, vậy $m=2$. Đáp án đúng là C. $m=2$. (Xin lỗi, có nhầm lẫn ban đầu. Dựa trên công thức $y=x+m+4$, m=2 là đúng).\nChọn lại đề bài để đáp án là A.\nCho hàm số $y=g(x)=\dfrac{x^2-6x}{x+m}$. Tìm giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là $y=x-4$. A. $m=2$ B. $m=10$ C. $m=-2$ D. $m=-10$\nLời giải ngắn gọn: Hàm số có dạng $y=\dfrac{x^2+Bx}{x+m}$. TCX có dạng $y=x + (B-m)$.\nTrong bài toán này, $B=-6$. TCX là $y=x + (-6-m)$.\nTa cần $x-6-m = x-4$. Suy ra $-6-m = -4$, tức là $m = -6 + 4 = -2$. \nĐáp án đúng: C. $m=-2$