Nồng độ oxygen trong hồ theo thời gian $t$ cho bởi công thức $y\left( t \right)=5-\dfrac{15t}{9{{t}^{2}}+1}$, với $y$ được tính theo ${mg}/{l}\;$ và $t$ được tính theo giờ, $t\ge 0$.

Bài toán gốc

Nồng độ oxygen trong hồ theo thời gian $t$ cho bởi công thức $y\left( t \right)=5-\dfrac{15t}{9{{t}^{2}}+1}$, với $y$ được tính theo ${mg}/{l}\;$ và $t$ được tính theo giờ, $t\ge 0$.

a) Đồ thị hàm số $y\left( t \right)$ có một đường tiệm cận ngang và một đường tiệm cận xiên.

b) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là $y=4$.

c) Đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng là $x=\dfrac{1}{3}$.

d) Sau một thời gian đủ dài, nồng độ oxygen trong hồ sẽ bão hòa và đạt ngưỡng $4{mg}/{l}\;$.

Lời giải:
$y\left( t \right)=5-\dfrac{15t}{9{{t}^{2}}+1}=\dfrac{45{{t}^{2}}+5-15t}{9{{t}^{2}}+1}=\dfrac{45{{t}^{2}}-15t+5}{9{{t}^{2}}+1}$
$\lim\limits_{t\to +\infty }y\left( t \right)=\lim\limits_{t\to +\infty }\dfrac{45{{t}^{2}}-15t+5}{9{{t}^{2}}+1}=\lim\limits_{t\to +\infty }\dfrac{45-\dfrac{15}{t}+\dfrac{5}{{{t}^{2}}}}{9+\dfrac{1}{{{t}^{2}}}}=\dfrac{45-0+0}{9+0}=5$
(a) Đồ thị hàm số $y\left( t \right)$ có một đường tiệm cận ngang và một đường tiệm cận xiên.
Đồ thị hàm số $y\left( t \right)$ có một đường tiệm cận ngang là $y=5$ và không có tiệm cận xiên.
(b) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là $y=5$.
$\lim\limits_{t\to +\infty }y\left( t \right)=5\Rightarrow y=5$ là một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
(c) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là $x=\dfrac{1}{3}$.
$\lim\limits_{t\to \frac{1}{3}}y\left( t \right)=\lim\limits_{t\to \frac{1}{3}}\dfrac{45{{t}^{2}}-15t+5}{9{{t}^{2}}+1}=\dfrac{45.{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{2}}-15.\frac{1}{3}+5}{9.{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{2}}+1}=\dfrac{5}{2}\Rightarrow x=\dfrac{1}{3}$ không phải là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
(d) Sau một thời gian đủ dài, nồng độ oxygen trong hồ sẽ bão hòa và đạt ngưỡng $5{mg}/{l}\;$.
Ta nhận thấy $\lim\limits_{t\to +\infty }y\left( t \right)=5$ điều này chứng tỏ rằng khi thời gian đủ dài, nồng độ oxygen trong hồ sẽ bão hòa và đạt ngưỡng $5{mg}/{l}\;$$.(Sai) Đồ thị hàm số$y\left( t \right)$có một đường tiệm cận ngang và một đường tiệm cận xiên.(Vì): Đồ thị hàm số$y\left( t \right)$có một đường tiệm cận ngang là$y=5$và không có tiệm cận xiên.(Sai) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là$y=4$.(Vì):$\lim\limits_{t\to +\infty }y\left( t \right)=5\Rightarrow y=5$là một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.(Đúng) Đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng là$x=\dfrac{1}{3}$.(Vì):$\lim\limits_{t\to \frac{1}{3}}y\left( t \right)=\lim\limits_{t\to \frac{1}{3}}\dfrac{45{{t}^{2}}-15t+5}{9{{t}^{2}}+1}=\dfrac{45.{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{2}}-15.\frac{1}{3}+5}{9.{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{2}}+1}=\dfrac{5}{2}\Rightarrow x=\dfrac{1}{3}$không phải là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.(Sai) Sau một thời gian đủ dài, nồng độ oxygen trong hồ sẽ bão hòa và đạt ngưỡng$4{mg}/{l}\;$.(Vì): Ta nhận thấy$\lim\limits_{t\to +\infty }y\left( t \right)=5$điều này chứng tỏ rằng khi thời gian đủ dài, nồng độ oxygen trong hồ sẽ bão hòa và đạt ngưỡng$5{mg}/{l}\;$$.

Phân tích và Phương pháp giải

Bài toán ban đầu là dạng ứng dụng của giới hạn hàm số vào mô hình thực tế, cụ thể là tìm nồng độ bão hòa (giá trị ngưỡng) của một đại lượng (oxygen) theo thời gian $t$. Phương pháp giải chủ yếu là tính giới hạn của hàm số $y(t)$ khi $t$ tiến tới vô cùng dương ($t\to +\infty$). Giá trị giới hạn này chính là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số, biểu thị trạng thái ổn định lâu dài của hệ thống.

Bài toán tương tự

Nồng độ của một loại thuốc trong máu của bệnh nhân sau $t$ giờ kể từ khi tiêm được cho bởi công thức $C\left( t \right)=7-\dfrac{14t}{2{{t}^{2}}+3}$, với $C$ được tính theo $\mu g/ml$ và $t$ được tính theo giờ, $t\ge 0$. Hãy xác định nồng độ thuốc trong máu sẽ đạt ngưỡng bão hòa là bao nhiêu khi thời gian rất dài.

Đáp án:
Ngưỡng bão hòa là $7 \mu g/ml$.

Lời giải ngắn gọn:
Nồng độ bão hòa đạt được khi $t$ tiến tới vô cùng, tức là ta cần tìm giới hạn $\lim\limits_{t\to +\infty }C\left( t \right)$.
Ta có:
$$\lim\limits_{t\to +\infty }C\left( t \right)=\lim\limits_{t\to +\infty }\left( 7-\dfrac{14t}{2{{t}^{2}}+3} \right)$$
Xét giới hạn của phân thức:
$$\lim\limits_{t\to +\infty }\dfrac{14t}{2{{t}^{2}}+3}=\lim\limits_{t\to +\infty }\dfrac{\dfrac{14}{t}}{2+\dfrac{3}{{{t}^{2}}}}=\dfrac{0}{2+0}=0$$
Do đó:
$$\lim\limits_{t\to +\infty }C\left( t \right)=7-0=7$$
Vậy, nồng độ thuốc trong máu sẽ đạt ngưỡng bão hòa là $7 \mu g/ml$.