Xét tính đúng sai của các phát biểu sau:

a) Đồ thị hàm số $y=\dfrac{-x+1}{4x+3}$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-\dfrac{1}{4}$.

Bài toán gốc

Xét tính đúng sai của các phát biểu sau:

a) Đồ thị hàm số $y=\dfrac{-x+1}{4x+3}$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-\dfrac{1}{4}$.

b) Đồ thị hàm số $y=\dfrac{-x+3}{-2x-2}$ có tiệm cận ngang là đường thẳng $y=\dfrac{1}{2}$.

c) Đồ thị hàm số $y=\dfrac{x^2-2x-2}{x-2}$ có tiệm cận đứng đường thẳng $x=2$.

d) Đồ thị hàm số $y=\dfrac{-x^2+5x+5}{x+1}$ có tiệm cận xiên là đường thẳng $y=-x+6$.

Lời giải:
(Sai) Đồ thị hàm số $y=\dfrac{-x+1}{4x+3}$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-\dfrac{1}{4}$.
(Vì): Hàm phân thức bậc nhất có $ad-bc\neq 0$ có một tiệm cận đứng đường thẳng $x=-\dfrac{d}{c}=-\dfrac{3}{4}$.
(Đúng) Đồ thị hàm số $y=\dfrac{-x+3}{-2x-2}$ có tiệm cận ngang là đường thẳng $y=\dfrac{1}{2}$.
(Vì): Hàm phân thức bậc nhất có $ad-bc\neq 0$ có một tiệm cận ngang $y=\dfrac{a}{c}$.
(Đúng) Đồ thị hàm số $y=\dfrac{x^2-2x-2}{x-2}$ có tiệm cận đứng đường thẳng $x=2$.
(Vì): Xét mẫu $x-2=0\Leftrightarrow x=2$. Nhận thấy $x=2$ không là nghiệm của phương trình $x^2-2x-2=0$ nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=2$.
(Đúng) Đồ thị hàm số $y=\dfrac{-x^2+5x+5}{x+1}$ có tiệm cận xiên là đường thẳng $y=-x+6$.
(Vì): Xét mẫu $x+1=0\Leftrightarrow x=-1$. Nhận thấy $x=-1$ không là nghiệm của phương trình $-x^2+5x+5=0$ nên đồ thị hàm số có tiệm cận xiên $y=\dfrac{{{a}_{1}}}{{{a}_{2}}}x-\dfrac{{{a}_{1}}{{b}_{2}}-{{a}_{2}}{{b}_{1}}}{a_{2}^{2}}=-x+6$.

Phân tích và Phương pháp giải

Bài toán yêu cầu kiểm tra tính đúng sai của các phát biểu liên quan đến tiệm cận (đứng, ngang, xiên) của các hàm số hữu tỉ. Phương pháp giải là áp dụng định nghĩa và các quy tắc tìm tiệm cận: Tiệm cận đứng xác định bởi nghiệm của mẫu số (kiểm tra trường hợp nghiệm mẫu cũng là nghiệm tử); Tiệm cận ngang xác định bởi giới hạn của hàm số khi $x \to \pm\infty$ (dựa vào bậc tử và bậc mẫu); Tiệm cận xiên xác định khi bậc tử lớn hơn bậc mẫu một đơn vị, sử dụng phép chia đa thức.

Bài toán tương tự

Cho các phát biểu sau về tiệm cận của đồ thị hàm số:
I. Đồ thị hàm số $y=\dfrac{2x+5}{x-3}$ có tiệm cận đứng là $x=3$ và tiệm cận ngang là $y=2$.
II. Đồ thị hàm số $y=\dfrac{x^2+5x+6}{x+2}$ có tiệm cận đứng là $x=-2$.
III. Đồ thị hàm số $y=\dfrac{x^2+x-1}{x-2}$ có tiệm cận xiên là đường thẳng $y=x+3$.
Số phát biểu đúng là:
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3

Đáp án đúng: C
Lời giải ngắn gọn:
Phát biểu I: Đúng. TCD là $x=3$ (nghiệm mẫu), TCN là $y=2/1=2$ (tỉ lệ hệ số bậc cao nhất).
Phát biểu II: Sai. $x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$. Tại $x=-2$, tử và mẫu đều bằng 0, đồ thị hàm số có lỗ thủng chứ không có TCD tại $x=-2$.
Phát biểu III: Đúng. Thực hiện phép chia đa thức: $(x^2+x-1) \div (x-2) = x+3 + \dfrac{5}{x-2}$. Vậy TCX là $y=x+3$.