Bài toán gốc
Cho hàm số $y=f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}}{x-2}$ có đồ thị $\left( C \right)$.Các mệnh đề sau là đúng hay sai?
a) Đạo hàm của hàm số là $f'(x)=\dfrac{x^{2}-4x}{(x-2)^{2}}$.
b) Giá trị cực tiểu của hàm số là $y_{CT}=8$.
c) Tâm đối xứng của đồ thị $(C)$ là $I(2;4)$.
d) Hàm số $y=f(x)-2x$ đồng biến trên khoảng $(2;+\infty)$.
Lời giải: ${f}’\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}-4x}{{{(x-2)}^{2}}}$ ${f}’\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}-4x}{{{(x-2)}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=0 \\ x=4 \end{array} \right.$. Lập BBT suy ra giá trị cực tiểu ${{y}_{CT}}=f(4)=2$ Tiệm cận đứng và tiệm cận xiên lần lượt là: $x=2\And y=x+2$
suy ra ta tâm đối xứng của đồ thị là $I\left( 2;4 \right)$
$\begin{array}{l} f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}}{x-2}=x+2+\dfrac{4}{x-2}\Rightarrow g(x)=f(x)-2x=-x+\dfrac{4}{x-2} \\ \Rightarrow {g}'(x)=-1-\dfrac{4}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}{<}0\forall x\ne 2 \end{array}$
Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 2;+\infty \right)$
(Đúng) Đạo hàm của hàm số là $f'(x)=\dfrac{x^{2}-4x}{(x-2)^{2}}$.
(Vì): Ta có $f'(x) = \dfrac{(x^2)'(x-2) – x^2(x-2)’}{(x-2)^2} = \dfrac{2x(x-2) – x^2}{(x-2)^2} = \dfrac{x^2 – 4x}{(x-2)^2}$.
(Đúng) Giá trị cực tiểu của hàm số là $y_{CT}=8$.
(Vì): Ta có $f'(x)=0 \Leftrightarrow x=0$ (điểm cực đại) hoặc $x=4$ (điểm cực tiểu). Do đó, giá trị cực tiểu của hàm số là $y_{CT}=f(4)=\dfrac{4^2}{4-2}=8$.
(Đúng) Tâm đối xứng của đồ thị $(C)$ là $I(2;4)$.
(Vì): Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=2$ và tiệm cận xiên $y=x+2$. Giao điểm của hai đường tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị, tức là $I(2;4)$.
(Sai) Hàm số $y=f(x)-2x$ đồng biến trên khoảng $(2;+\infty)$.
(Vì): Xét hàm số $g(x)=f(x)-2x = \left(x+2+\dfrac{4}{x-2}\right) – 2x = -x+2+\dfrac{4}{x-2}$. Ta có $g'(x)=-1-\dfrac{4}{(x-2)^2} {<} 0$ với mọi $x \neq 2$. Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng $(2;+\infty)$.
Phân tích và Phương pháp giải
Bài toán gốc thuộc dạng khảo sát hàm số phân thức bậc hai chia bậc nhất $y=\frac{Ax^2}{x-b}$. Các bước giải quyết bao gồm: 1) Tính đạo hàm bằng công thức đạo hàm thương; 2) Tìm cực trị bằng cách giải phương trình $f'(x)=0$ và xét dấu; 3) Xác định tiệm cận đứng và tiệm cận xiên (bằng cách chia đa thức) để tìm tâm đối xứng (là giao điểm của hai tiệm cận); 4) Khảo sát tính đơn điệu của hàm số liên quan $g(x)=f(x)-ax$ bằng cách tính đạo hàm $g'(x)$.
Bài toán tương tự
Cho hàm số $y=f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}}{x-1}$ có đồ thị $\left( C \right)$. Khẳng định nào sau đây là SAI?A. Đạo hàm của hàm số là $f'(x)=\dfrac{x^{2}-2x}{(x-1)^{2}}$.B. Giá trị cực tiểu của hàm số là $y_{CT}=4$.C. Tâm đối xứng của đồ thị $(C)$ là $I(1;2)$.D. Hàm số $y=f(x)-x$ đồng biến trên khoảng $(1;+\infty)$.Đáp án đúng: D.Lời giải ngắn gọn:Hàm số đã cho có $f(x)=x+1+\dfrac{1}{x-1}$.A. Tính đạo hàm: $f'(x) = \dfrac{2x(x-1)-x^2}{(x-1)^2} = \dfrac{x^2-2x}{(x-1)^2}$. (Đúng)B. $f'(x)=0 \Leftrightarrow x=0$ (cực đại) hoặc $x=2$ (cực tiểu). $y_{CT}=f(2)=\dfrac{2^2}{2-1}=4$. (Đúng)C. Tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận xiên $y=x+1$. Tâm đối xứng là giao điểm $I(1;2)$. (Đúng)D. Xét $g(x)=f(x)-x = 1+\dfrac{1}{x-1}$. Ta có $g'(x)=-\dfrac{1}{(x-1)^2} < 0$ với mọi $x\neq 1$. Do đó, hàm số $g(x)$ nghịch biến trên khoảng $(1;+\infty)$, khẳng định D là SAI.