Giả sử số lượng của một quần thể nấm men tại môi trường nuôi cấy trong phòng thí nghiệm được mô hinh hoá bằng hàm số $P(t)=\dfrac{a}{b+e^{-0,75 t}}$, trong đó thời gian $t$ được tính bằng giờ

Giả sử số lượng của một quần thể nấm men tại môi trường nuôi cấy trong phòng thí nghiệm được mô hinh hoá bằng hàm số $P(t)=\dfrac{a}{b+e^{-0,75 t}}$, trong đó thời gian $t$ được tính bằng giờ. Tại thời điểm ban đầu $t=0$, quần thể có 20 tế bào và tăng với tốc độ 12 tế bào/giờ. Tìm các giá trị của $a$ và $b$. Theo mô hình này, số lượng nấm men không vượt quá bao nhiêu?
Đáp án: 100

Lời giải: Ta có: ${P}'(t)=\dfrac{0,75a{{\text{e}}^{-0,75t}}}{{{\left( b+{{\text{e}}^{-0,75t}} \right)}^{2}}},t\ge 0$.
Theo đề bài, ta có: $P(0)=20$ và ${P}'(0)=12$. Do đó, ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array} { l } { \frac { a } { b + 1 } = 2 0 } \\ { \frac { 0 , 7 5 a } { ( b + 1 ) ^ { 2 } } = 1 2 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} a=20(b+1) \\ \dfrac{15}{b+1}=12 . \end{array}\right.\right.$
Giải hệ phương trình này, ta được $a=25$ và $b=\dfrac{1}{4}$.
Khi đó, ${P}'(t)=\dfrac{18,75{{\text{e}}^{-0,75t}}}{{{\left( \dfrac{1}{4}+{{\text{e}}^{-0,75t}} \right)}^{2}}}{>}0,\forall t\ge 0$, tức là số lượng quần thể nấm men luôn tăng.
Tuy nhiên, do $\lim _{t \rightarrow+\infty} P(t)=\lim _{t \rightarrow+\infty} \dfrac{25}{\dfrac{1}{4}+\mathrm{e}^{-0.75 t}}=100$ nên số lượng quần thể nấm men tăng nhưng không vượt quá 100 tế bào.