Một người nông dân có$15000000$đồng để làm một hàng rào hình chữ${{E}}$dọc theo một con sông bao quanh hai khu đất trồng rau có dạng hai hình chữ nhật bằng nhau (hình vẽ dưới)

Một người nông dân có$15000000$đồng để làm một hàng rào hình chữ${{E}}$dọc theo một con sông bao quanh hai khu đất trồng rau có dạng hai hình chữ nhật bằng nhau (hình vẽ dưới). Đối với mặt hàng rào song song với bờ sông thì chi phí nguyên vật liệu là$60000$đồng/mét, còn đối vối ba mặt hàng rào song song nhau thì chi phí nguyên vật liệu là$50000$đồng/mét, mặt giáp với bờ sông không phải rào. Tìm diện tích lớn nhất của hai khu đất thu được sau khi làm hàng rào.
Đáp án: 6250

Lời giải: Gọi độ dài của hàng rào song sông với bờ sông là$x$với${x{>}0}$
Gọi độ dài của mỗi hàng rào trong ba hàng rào song song nhau là$y$với${y{>}0}$
Diện tích đất mà bác nông dân rào được là:${x y\left(m^2\right)}$
Tổng chi phí là$15000000$đồng nên ta có phương trình:
$x60000+3y50000=15000000\Rightarrow 6x+15y=1500$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta có:
${6 x+15 y \geq 2 \sqrt{6 x .5 y}={>}1500 \geq 2 \sqrt{90 x y}={>}x y \leq 6250 }$
Vậy diện tích lớn nhất mà bác nông dân có thể tạo rào là${6250\left({m}^2\right)}$