Một bài báo trong tạp chí xã hội học phát biểu rằng nếu một chương trình chăm sóc sức khỏe đặc biệt cho người già được khởi xướng, thì$t$năm sau khi nó được khởi động,$n$ngàn người già có thể trực tiếp nhận được các phúc lợi, trong đó$n=\dfrac{{{t}^{3}}}{3}-6{{t}^{2}}+32t\left( 0\le t\le 12 \right)$

Một bài báo trong tạp chí xã hội học phát biểu rằng nếu một chương trình chăm sóc sức khỏe đặc biệt cho người già được khởi xướng, thì$t$năm sau khi nó được khởi động,$n$ngàn người già có thể trực tiếp nhận được các phúc lợi, trong đó$n=\dfrac{{{t}^{3}}}{3}-6{{t}^{2}}+32t\left( 0\le t\le 12 \right)$. Với giá trị nào của$t$thì số người nhận phúc lợi tối đa là bao nhiêu?
Đáp án: 12

Lời giải: Đạo hàm${n}’\left( t \right)=0$ta có${n}’\left( t \right)={{t}^{2}}-12t+32=0\Leftrightarrow \left( t-4 \right)\left( t-8 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} t=4 \\ t=8. \end{array} \right.$
Vì tập xác định của$n$là một khoảng đóng$\left[ 0;12 \right]$nên$n$đạt cực đại tuyệt đối tại$t=0,t=4,t=8$hoặc$t=12$:
$n\left( 0 \right)=\dfrac{{{0}^{3}}}{3}-6\left( {{0}^{2}} \right)+32.0=0;n\left( 4 \right)=\dfrac{{{4}^{3}}}{3}-6\left( {{4}^{2}} \right)+32.4=\dfrac{160}{3}$
$n\left( 8 \right)=\dfrac{{{8}^{3}}}{3}-6\left( {{8}^{2}} \right)+32.8=\dfrac{128}{3};n\left( 12 \right)=\dfrac{{{12}^{3}}}{3}-6\left( {{12}^{2}} \right)+32.12=\dfrac{288}{3}=96$
Do đó$n$đạt cực đại khi$t=12$(năm).