Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá $300$ sản phẩm

Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá $300$ sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất ${x}$ sản phẩm ( $1\le x\le 300$ ) thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là $F\left( x \right)=-2{{x}^{2}}+1312x$, trong khi chi phí sản xuất bình quân cho một sản phẩm là $G\left( x \right)={{x}^{2}}-77x+1000+\dfrac{40000}{x}$. Lợi nhuận thu được của doanh nghiệp đạt giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu ?
Đáp án: 38

Lời giải: Lợi nhuận = doanh thu – chi phí sản xuất bình quân
$H\left( x \right)=F\left( x \right)-G\left( x \right).x=\left( -2{{x}^{2}}+1312x \right)-\left( {{x}^{2}}-77x+1000+\dfrac{40000}{x} \right)x=-{{x}^{3}}+75{{x}^{2}}+312x-40000$
${H}’\left( x \right)=-3{{x}^{2}}+150x+312;{H}’\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=52\left( TM \right) \\ x=-2\left( L \right) \end{array} \right.$
$\begin{array}{l} H\left( 1 \right)=-39614 \\ H\left( 52 \right)=38416 \\ H\left( 300 \right)=-20196400 \end{array}$
Vậy lợi nhuận lớn nhất đạt được là $38416$ nghìn đồng $\approx 38$ triệu đồng.