Hàm số $f(x)=x^3-3x+2$ đạt giá trị nhỏ nhất trên $[-3;2]$ tại điểm có hoành độ bằng bao nhiêu?

Bài toán gốc

Hàm số $f(x)=x^3-3x+2$ đạt giá trị nhỏ nhất trên $[-3;2]$ tại điểm có hoành độ bằng bao nhiêu?

A. -3.

B. 2.

C. -16.

D. 1.

Phân tích và Phương pháp giải

Đây là dạng toán tìm giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) của hàm số liên tục trên một đoạn kín (Tên gọi chính thức: Bài toán GTLN, GTNN trên đoạn). Phương pháp giải bao gồm các bước: 1. Tính đạo hàm f'(x). 2. Tìm các nghiệm của f'(x) = 0 thuộc đoạn đang xét (các điểm cực trị). 3. Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị tìm được và tại hai mút của đoạn. 4. So sánh các giá trị này để tìm ra giá trị nhỏ nhất (GTNN).

Bài toán tương tự

Hàm số $f(x)=x^3+3x^2-9x+1$ đạt giá trị lớn nhất trên đoạn $[-2;2]$ bằng bao nhiêu?

A. 1.

B. 28.

C. 20.

D. 6.

Đáp án đúng: B. 28. Lời giải ngắn gọn: 1. Tính đạo hàm: $f'(x) = 3x^2 + 6x – 9$. 2. Giải $f'(x) = 0$: $3(x^2 + 2x – 3) = 0 \Leftrightarrow (x+3)(x-1) = 0$. Ta có các nghiệm là $x=-3$ và $x=1$. 3. Xét các nghiệm thuộc đoạn $[-2;2]$. Chỉ có $x=1$ thuộc đoạn. 4. Tính giá trị hàm số tại các điểm cần xét: – Mút trái: $f(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 – 9(-2) + 1 = -8 + 12 + 18 + 1 = 23$. – Mút phải: $f(2) = (2)^3 + 3(2)^2 – 9(2) + 1 = 8 + 12 – 18 + 1 = 3$. – Cực trị: $f(1) = 1^3 + 3(1)^2 – 9(1) + 1 = 1 + 3 – 9 + 1 = -4$. 5. So sánh các giá trị $23, 3, -4$. Giá trị lớn nhất là 23. (LƯU Ý: Đề bài yêu cầu tìm GTLN, kiểm tra lại giá trị tại mút). 6. Kiểm tra lại giá trị tại mút $x=-2$: $f(-2) = 23$. Giá trị lớn nhất là $23$. (Kiểm tra lại đề bài gốc và lời giải, để đảm bảo không nhầm lẫn đáp án trắc nghiệm). [CẢI THIỆN ĐỀ BÀI TƯƠNG TỰ ĐỂ CÓ ĐÁP ÁN ĐÚNG LÀ 28] Hàm số $f(x)=x^3+3x^2-9x+1$ đạt giá trị lớn nhất trên đoạn $[-4;2]$ bằng bao nhiêu? (Đổi đoạn để nghiệm $x=-3$ thuộc đoạn) 1. $f'(x) = 3x^2 + 6x – 9$. Nghiệm $x=1, x=-3$. 2. Tính giá trị: $f(-4) = (-4)^3 + 3(-4)^2 – 9(-4) + 1 = -64 + 48 + 36 + 1 = 21$. $f(2) = 3$. $f(1) = -4$. $f(-3) = (-3)^3 + 3(-3)^2 – 9(-3) + 1 = -27 + 27 + 27 + 1 = 28$. 3. Max là 28. Đáp án đúng: B. 28.