[Mức độ 3] Một khối cầu được đặt trong nó một khối trụ sao cho khối cầu đi qua tất cả các hai đường tròn đáy của khối trụ. Gọi diện tích của khối cầu và diện tích xung quanh của hình trụ trên thứ tự là \(S,S’\); thể tích của khối cầu và khối trụ trên thứ tự là \(V,V’\). Biết tỷ số\(\frac{S}{{S’}} = 2\) Tính\(\frac{V}{{V’}}\)?

A.\(\frac{V}{{V’}} = \frac{3}{{2\sqrt 2 }}\).

B.\(\frac{V}{{V’}} = \frac{{4\sqrt 2 }}{3}\).

C. \(\frac{V}{{V’}} = \frac{{\sqrt 2 }}{3}\).

D. \(\frac{V}{{V’}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).

Lời giải:

Gọi \(R\) là bán kính của khối cầu, \(r\)bán kính đáy của khối trụ và \(h\) là nửa chiều cao của khối trụ.

\( \Rightarrow R = \sqrt {{r^2} + {h^2}} \)

\( \Rightarrow \)diện tích của khối cầu \(S = 4\pi \left( {{r^2} + {h^2}} \right)\)và diện tích xung quanh của hình trụ là \(S’ = 4\pi rh\)

Có \(\frac{S}{{S’}} = 2\)\( \Rightarrow \frac{{4\pi \left( {{r^2} + {h^2}} \right)}}{{4\pi rh}} = 2 \Leftrightarrow r = h\)

\( \Rightarrow R = \sqrt 2 r\)

\( \Rightarrow \frac{V}{{V’}} = \frac{{\frac{4}{3}\pi {{\left( {\sqrt 2 r} \right)}^3}}}{{2\pi {r^3}}} = \frac{{4\sqrt 2 }}{3}\)

Chọn đáp án B.