Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh đều bằng \(a\).Gọi \(O\) là giao điểm của hai đường chéo.Tính khoảng cách từ \(O\) đến \((SCD)\).

Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh đều bằng \(a\).Gọi \(O\) là giao điểm của hai đường chéo.Tính khoảng cách từ \(O\) đến \((SCD)\).

A. \(d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

B. \(d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right) = a\).

C. \(d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}\).

D. \(d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{a}{2}\).

Lời giải:

Vì \(S.ABCD\) là hình chóp đều nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot CD\)

Gọi \(M\) là trung điểm \(CD\), vì tam giác \(OCD\) vuông cân nên \(OM \bot CD,OM = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}a\)

Trong tam giác \(SOM\) kẻ \(OH \bot SM\). Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot OM\\CD \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot (SOM) \supset OH \Rightarrow CD \bot OH\)

Mặt khác ta có \(\left\{ \begin{array}{l}OH \bot SM\\OH \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot (SCD) \Rightarrow d\left( {O,(SCD)} \right) = OH\)

Ta có \(SO = \sqrt {S{C^2} – O{C^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\), \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{M^2}}} + \frac{1}{{S{O^2}}} = \frac{1}{{\frac{{{a^2}}}{4}}} + \frac{1}{{\frac{{2{a^2}}}{4}}} = \frac{6}{{{a^2}}} \Rightarrow OH = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}\).

Vậy \(d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}\).

=========== Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ Trắc nghiệm Khoảng cách và góc trong không gian.