Biết \(I = \int\limits_1^{\sqrt[4]{3}} {\frac{1}{{x({x^4} + 1)}}} dx = \frac{1}{a}\ln \frac{b}{c}\) với \(a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in {\mathbb{N}^ * }\) và \(\frac{b}{c}\) là phân số tối giản. Tính \(T = ab

C.\)

Biết \(I = \int\limits_1^{\sqrt[4]{3}} {\frac{1}{{x({x^4} + 1)}}} dx = \frac{1}{a}\ln \frac{b}{c}\) với \(a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in {\mathbb{N}^ * }\) và \(\frac{b}{c}\) là phân số tối giản. Tính \(T = ab

A. \(T = 24\).

B. \(P = 12\).

C. \(T = 30\).

D. \(T = – 24\).

Lời giải

Đặt \(t = {x^4} \Rightarrow dt = 4{x^3}dx\).

Khi \(x = 1\) thì \(t = 1\), khi \(x = \sqrt[4]{3}\) thì \(t = 3\).

Ta có

\(I = \int\limits_1^{\sqrt[4]{3}} {\frac{1}{{x({x^4} + 1)}}} dx = \frac{1}{4}\int\limits_1^{\sqrt[4]{3}} {\frac{{4{x^3}}}{{{x^4}({x^4} + 1)}}} dx = \frac{1}{4}\int\limits_1^3 {\frac{{dt}}{{t\left( {t + 1} \right)}} = } \frac{1}{4}\int\limits_1^3 {\left( {\frac{1}{t} – \frac{1}{{t + 1}}} \right)} dt = \frac{1}{4}\left. {\left[ {\ln \left| {\frac{t}{{t + 1}}} \right|} \right]} \right|\begin{array}{*{20}{c}}3\\1\end{array} = \frac{1}{4}\ln \frac{3}{2}\) .

Suy ra \(a = 4,{\rm{ }}b = 3,{\rm{ }}c = 2\). Vậy \(T = 24\).

===========
Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HAM – TICH PHÂN – ỨNG DỤNG.