Đề toán 2022 Xét tất cả các số thực \(x,y\)sao cho \({27^{5 – {y^2}}} \ge {a^{6x – {{\log }_3}{a^3}}}\)với số thực dương a. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^2} + {y^2} – 4x + 8y\)bằng

Đề toán 2022 Xét tất cả các số thực \(x,y\)sao cho \({27^{5 – {y^2}}} \ge {a^{6x – {{\log }_3}{a^3}}}\)với số thực dương a. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^2} + {y^2} – 4x + 8y\)bằng

A. \( – 15\) B. \(25\) C. \( – 5\) D. \( – 20\)

Lời giải

Xét bất phương trình ẩn \(a\)

\({27^{5 – {y^2}}} \ge {a^{6x – {{\log }_3}{a^3}}}\) (1).

Logarit cơ số 3 hai vế của bất phương trình ta được

\(3(5 – {y^2}) \ge (6x – 3{\log _3}a){\log _3}a\)

Đặt \(t = {\log _3}a\), với a dương thì tập giá trị của \(t\) là lập số thực \(\mathbb{R}\).

Bất phương trình trở thành

\(3(5 – {y^2}) \ge (6x – 3t)t\)

\( \Leftrightarrow {t^2} – 2xt + 5 – {y^2} \ge 0\) (2).

(1) đúng với mọi số thực dương a

\( \Leftrightarrow \) (2) đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow \Delta ‘ = {x^2} + {y^2} – 5 \le 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \le 5\)

Lại có \(P = {\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + 2\left( { – x + 2y} \right) – 5 \ge 2\left( { – x + 2y} \right) – 5\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski, ta có: \({( – x + 2y)^2} \le \left( {1 + 4} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \le 25\)\( \Rightarrow \left( { – x + 2y} \right) \ge  – 5\)

Suy ra \(P \ge  – 15\), đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x = 1;y =  – 2\).

Vậy \({P_{\min }} =  – 15\).

===========

Đây là các câu VD-VDC trong đề Toán 2022.