(Sở Thái Nguyên 2022) Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = BC = CD = 2\sqrt 3 \), \(AC = BD = 2\), \(AD = 2\sqrt 2 \). Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đã cho bằng

A. \(6\pi \).

B. \(24\pi \).

C. \(\frac{{40\pi }}{3}\).

D. \(\frac{{10\pi }}{3}\).

Lời giải:

Chọn C

Dựng hình lăng trụ đều \(ACE.DFB\) có cạnh đáy \(2\), cạnh bên \(2\sqrt 2 \).

Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\) là mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đều \(ACE.DFB\). Gọi \(O,K\) lần lượt là tâm hai đáy \(ACB\), \(DBF\).

Tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ là \(I\)(trung điểm của \(OK\)).

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ là: \(R = \sqrt {O{I^2} + O{A^2}} = \sqrt {2 + {{\left( {\frac{{2\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {30} }}{3}\).

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\) là: \(S = 4\pi {\left( {\frac{{\sqrt {30} }}{3}} \right)^2} = \frac{{40}}{3}\pi \).