CÂU HỎI: Cho \( F\left( x \right) = \smallint \frac{x}{{1 + \sqrt {1 + x} }}dx\)  và \(F( 3 ) – F( 0 ) =\frac{a}{b}\) là phân số tối giản , a > 0. Tổng (a + b ) bằng ?

Đặt

\(\begin{array}{l}
\sqrt {1 + x} = t \Rightarrow 1 + x = {t^2} \Rightarrow x = {t^2} – 1 \Rightarrow dx = 2tdt\\
\begin{array}{*{20}{l}}
{ \Rightarrow F\left( x \right) = \smallint \frac{{{t^2} – 1}}{{1 + t}}.2tdt = 2\smallint t\left( {t – 1} \right)dt = 2\smallint \left( {{t^2} – t} \right)dt}\\
{ = \frac{2}{3}{t^3} – {t^2} + C = \frac{2}{3}\left( {1 + x} \right)\sqrt {1 + x} – \left( {1 + x} \right) + C}\\
{ \Rightarrow F\left( 3 \right) – F\left( 0 \right) = \frac{2}{3}\left( {1 + 3} \right)\sqrt {1 + 3} – \left( {1 + 3} \right) – \frac{2}{3}\left( {1 + 0} \right)\sqrt {1 + 0} + \left( {1 + 0} \right) = \frac{5}{3}}\\
{ \Rightarrow a = 5,b = 3 \Rightarrow a + b = 8}
\end{array}
\end{array}\)