CÂU HỎI: . Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)=2^{x}, \text { thỏa mãn } F(0)=\frac{1}{\ln 2}\). Tính giá trị biểu thức \(T=F(0)+F(1)+F(2)+\ldots+F(2017)\)

\(\begin{array}{l}
\text { Ta có: } F(x)=\int f(x) \mathrm{d} x=\int 2^{x} \mathrm{d} x=\frac{2^{x}}{\ln 2}+C \\
\text { Mà } F(0)=\frac{1}{\ln 2} \Rightarrow \frac{1}{\ln 2}+C=\frac{1}{\ln 2} \Rightarrow C=0 \Rightarrow F(x)=\frac{2^{x}}{\ln 2}
\end{array}\)

Khi đó:

\(\begin{array}{l}
T=F(0)+F(1)+F(2)+\ldots+F(2017) \\
=\frac{2^{0}}{\ln 2}+\frac{2}{\ln 2}+\frac{2^{2}}{\ln 2}+\ldots+\frac{2^{2017}}{\ln 2}=\frac{1}{\ln 2} \cdot \frac{1-2^{2018}}{1-2}=\frac{2^{2018}-1}{\ln 2}
\end{array}\)