Câu hỏi:
Giả sử \((1 + x + x^2 + x^3 + … + x^{10})^{11} = a_0 + a_1x + a_2x^2+ a_3x^3)+ … + a_{110}x^{110}\) với \(a_0, a_1, a_2, …, a_{110}\) là các hệ số. Giá trị của tổng \(
C_{11}^0{a_{11}} – C_{11}^1{a_{10}} + C_{11}^2{a_9} – C_{11}^3{a_8} + … + C_{11}^{10}{a_1} – C_{11}^{11}{a_0} = T\)
Lời Giải:
Đây là các bài toán về Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp có áp dụng các phép đếm.
Ta có:
\(\begin{array}{l}
A = {\left( {1 + x + {x^2} + {x^3} + … + {x^{10}}} \right)^{11}} \Leftrightarrow {\left( {1 – x} \right)^{11}}A = {\left( {1 – {x^{11}}} \right)^{11}}\\
\Leftrightarrow \underbrace {\mathop \sum \limits_{k = 0}^{11} C_{11}^k{{\left( { – x} \right)}^k}.\mathop \sum \limits_{i = 0}^{110} {a_i}{x^i}}_P = \underbrace {\mathop \sum \limits_{m = 0}^{11} C_{11}^m{{\left( { – {x^{11}}} \right)}^m}}_Q
\end{array}\)
Hệ số của x11 trong P là
\(
C_{11}^0{a_{11}} – C_{11}^1{a_{10}} + C_{11}^2{a_9} – C_{11}^3{a_8} + … + C_{11}^{10}{a_1} – C_{11}^{11}{a_0} = T\)
Hệ số của x11 trong Q là \(
– C_{11}^1\)
Vậy \(
T = – C_{11}^1 = – 11\)
===============
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Tổ hợp
Trả lời