Câu hỏi:
Gọi ak là hệ số của số hạng chứa xk trong khai triển (1+2x)n. Tìm n sao cho \(
{a_1} + 2\frac{{{a_2}}}{{{a_1}}} + 3\frac{{{a_3}}}{{{a_2}}} + … + n\frac{{{a_n}}}{{{a_{n – 1}}}} = 72.\)
Lời Giải:
Đây là các bài toán về Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp có áp dụng các phép đếm.
Ta có:
\(
{(1 + 2x)^n} = \mathop \sum \limits_{k = 0}^n C_n^k{(2x)^k} = \mathop \sum \limits_{k = 0}^n {2^k}C_n^k{x^k} \Rightarrow {a_k} = {2^k}C_n^k.\)
Do đó:
\(
k\frac{{{a_k}}}{{{a_{k – 1}}}} = k\frac{{{2^k}C_n^k}}{{{2^{k – 1}}C_n^{k – 1}}} = 2k.\frac{{\frac{{n!}}{{k!(n – k)!}}}}{{\frac{{n!}}{{(k – 1)!(n – k + 1)!}}}} = 2k.\frac{{\frac{1}{k}}}{{\frac{1}{{n – k + 1}}}} = 2(n – k + 1).\)
Do đó theo giả thiết có:
\(\begin{array}{l}
S = {a_1} + 2.\frac{{{a_2}}}{{{a_1}}} + 3.\frac{{{a_3}}}{{{a_2}}} + ……. + n.\frac{{{a_n}}}{{{a_{n – 1}}}} = 72\\
\Leftrightarrow \sum\limits_{k – 1}^n {k\frac{{{a_k}}}{{{a_{k – 1}}}} = \sum\limits_{k – 1}^n {2(n – k + 1)} .} \\
\Leftrightarrow 2n(n + 1) – 2n\sum\limits_k^n k = 72\\
\Leftrightarrow 2n(n + 1) – 2(1 + 2 + … + n) \Leftrightarrow 2n(n + 1) – n(n + 1) = 72\\
(do1 + 2 + …. + n = \frac{{n(n + 1)}}{2})\\
\Leftrightarrow 2{n^2} + 2n – {n^2} – n = 72\\
\Leftrightarrow {n^2} + n – 72 = 0 \to \left[ \begin{array}{l}
n = 8\\
n = – 9
\end{array} \right.
\end{array}\)
===============
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Tổ hợp
Trả lời