. Ông Bình vay ngân hàng \(600\) triệu đồng với lãi suất \(1\% \)/tháng. Ông ấy muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi tháng là 18 triệu đồng. Biết rằng mỗi tháng ngân hàng chỉ tính lãi trên số dư nợ thực tế của tháng đó. Hỏi số tháng mà ông Bình cần trả hết nợ ngân hàng là bao nhiêu kể từ khi vay?

Câu hỏi:

. Ông Bình vay ngân hàng \(600\) triệu đồng với lãi suất \(1% \)/tháng. Ông ấy muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi tháng là 18 triệu đồng. Biết rằng mỗi tháng ngân hàng chỉ tính lãi trên số dư nợ thực tế của tháng đó. Hỏi số tháng mà ông Bình cần trả hết nợ ngân hàng là bao nhiêu kể từ khi vay?

A. 38 tháng.

B. 39 tháng.

C. 40 tháng.

D. 41 tháng.

Lời giải

Gọi số tiền vay ban đầu là \(M\), số tiền hoàn nợ mỗi tháng là \(m\), lãi suất một tháng là \(r\).

Hết tháng thứ nhất, số tiền cả vốn lẫn lãi ông Bình nợ ngân hàng là \(M + Mr = M\left( {1 + r} \right)\).

Ngày sau đó ông Bình hoàn nợ số tiền \(m\) nên số tiền để tính lãi cho tháng thứ hai là \(M\left( {1 + r} \right) – m\)

Do đó hết tháng thứ hai, số tiền cả vốn lẫn lãi ông Bình nợ ngân hàng là:

\(\left[ {M\left( {1 + r} \right) – m} \right]\left( {1 + r} \right) = M{\left( {1 + r} \right)^2} – m\left( {1 + r} \right)\)

Ngày sau đó ông Bình hoàn nợ số tiền \(m\) nên số tiền để tính lãi cho tháng thứ ba là:

\(M{\left( {1 + r} \right)^2} – m\left( {1 + r} \right) – m\)

Do đó hết tháng thứ ba, số tiền cả vốn lẫn lãi ông Bình nợ ngân hàng là:

\(\left[ {M{{\left( {1 + r} \right)}^2} – m\left( {1 + r} \right) – m} \right]\left( {1 + r} \right) = M{\left( {1 + r} \right)^3} – m{\left( {1 + r} \right)^2} – m\left( {1 + r} \right)\)

Ngày sau đó ông Bình hoàn nợ số tiền \(m\) nên số tiền để tính lãi cho tháng thứ tư là:

\(M{\left( {1 + r} \right)^3} – m{\left( {1 + r} \right)^2} – m\left( {1 + r} \right) – m\)

Cứ tiếp tục lập luận như vậy , sau tháng thứ \(n\), \(n \ge 2\), số tiền cả vốn lẫn lãi ông Bình nợ ngân hàng là:

\(M{\left( {1 + r} \right)^n} – m{\left( {1 + r} \right)^{n – 1}} – m{\left( {1 + r} \right)^{n – 2}} – … – m\left( {1 – r} \right) – m = M{\left( {1 + r} \right)^n} – \frac{{m\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^n} – 1} \right]}}{r}\)

Sau \(n\) tháng trả hết nợ thì ta có:

\(M{\left( {1 + r} \right)^n} – \frac{{m\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^n} – 1} \right]}}{r} \le 0 \Leftrightarrow {\left( {1 + r} \right)^n} \ge \frac{m}{{m – Mr}} \Leftrightarrow n \ge {\log _{1 + r}}\frac{m}{{m – Mr}}\)

Thay với \(M = 600.000.000,r = 1% ,m = 18.000.000\) ta được \(n \ge {\log _{1,01}}\frac{{18}}{{12}} \approx 40,75\), vì \(n\) là số tự nhiên nên ta có \(n = 41\) tháng.

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Toán thực tế về hàm số mũ và Lôgarit