. Cho hai số thực dương \(a\), \(b\) thỏa mãn \(\frac{1}{2}{\log _{2020}}a = {\log _{2020}}\frac{1}{b}\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 4a + {b^2} – 3{\log _3}\left( {4a + {b^2}} \right)\) được viết dưới dạng \(x – y{\log _3}z\), với \(x,y,z\) là các số nguyên dương lớn hơn 2. Khi đó, tổng \(x + 2y + z\) có giá trị bằng

Câu hỏi:

. Cho hai số thực dương \(a\), \(b\) thỏa mãn \(\frac{1}{2}{\log _{2020}}a = {\log _{2020}}\frac{1}{b}\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 4a + {b^2} – 3{\log _3}\left( {4a + {b^2}} \right)\) được viết dưới dạng \(x – y{\log _3}z\), với \(x,y,z\) là các số nguyên dương lớn hơn 2. Khi đó, tổng \(x + 2y + z\) có giá trị bằng

A. \(15\).

B. \(2\).

C. \(14\).

D. \(11\).

Lời giải

Ta có: \(\frac{1}{2}{\log _{2020}}a = {\log _{2020}}\frac{1}{b} \Leftrightarrow {\log _{2020}}a = 2{\log _{2020}}\frac{1}{b} \Leftrightarrow {\log _{2020}}a = {\log _{2020}}\frac{1}{{{b^2}}} \Leftrightarrow a = \frac{1}{{{b^2}}}\).

Đặt \(t = 4{\rm{a}} + {b^2}\). Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: \(t = 4a + {b^2} = \frac{4}{{{b^2}}} + {b^2} \ge 2\,\sqrt {\frac{4}{{{b^2}}}.\,{b^2}} = 4\).

Đẳng thức xảy ra khi \(b = \sqrt 2 \) và \(a = \frac{1}{2}\).

Khi đó: \(P = 4a + {b^2} – 3{\log _3}\left( {4a + {b^2}} \right) = t – 3{\log _3}t\), với \(t \ge 4\).

Xét hàm số: \(f\left( t \right) = t – 3{\log _3}t\) trên nửa khoảng \(\left[ {4\,; + \,\infty } \right)\).

Có \(f’\left( t \right) = 1 – \frac{3}{{t\ln 3}} = \frac{{t\ln 3 – 3}}{{t\ln 3}} > 0\,\,,\forall t \ge 4\)

Suy ra hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left[ {4; + \infty } \right)\).

\( \Rightarrow P = f\left( t \right) \ge f\left( 4 \right) = 4 – 3{\log _3}4\). Suy ra: \({P_{\min }} = 4 – 3{\log _3}4\) khi \(a = \frac{1}{2}\) và \(b = \sqrt 2 \).

Vậy \(x = 4\,;y = 3\,;z = 4 \Rightarrow x + 2y + z = 14\).

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Logarit và hàm số lôgarit