Sử dụng khoảng cách để tính góc.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thoi cạnh \(a\), góc \(\widehat {BAD} = 60^\circ \). Hình chiếu vuông góc của đỉnh \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là điểm \(H\) trên cạnh \(AB\) sao cho \(HA = 2HB\). Góc giữa \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \(60^\circ \). Tính sin của góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\).
A. \(\frac{7}{{\sqrt {74} }}\)
B. \(\frac{{\sqrt {42} }}{7}\)
C. \(\frac{{\sqrt {21} }}{{37}}\)
D. \(\frac{{2\sqrt 6 }}{5}\)
LỜI GIẢI CHI TIẾT
+) \(H{C^2} = B{H^2} + B{C^2} – 2BH.B
C. \cos 60^\circ= \frac{{7{a^2}}}{9}\)\( \Rightarrow HC = \frac{{a\sqrt 7 }}{3} \Rightarrow SH = \frac{{a\sqrt {21} }}{3}\).
+) Kẻ \(AK \bot \left( {SCD} \right)\) tại\(K\), kẻ \(AE \bot SC\) tại \(E\)\( \Rightarrow \varphi= \widehat {\left( {\left( {SCD} \right),\left( {SAC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {AE,KE} \right)} = \widehat {AEK}\).
+) \(AK = d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {H,\left( {SCD} \right)} \right) = HI\).
+) \(HF = AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\), \(SH = \frac{{a\sqrt {21} }}{3}\)\( \Rightarrow HI = \frac{{HF.SH}}{{\sqrt {H{F^2} + S{H^2}} }} = a\sqrt {\frac{{21}}{{37}}}\Rightarrow AK = a\sqrt {\frac{{21}}{{37}}} \).
+) Kẻ \(HG \bot AC\) tại \(G\) \( \Rightarrow HG = \frac{a}{{\sqrt 3 }}\)
+) Có \(\left\{ \begin{array}{l}AC \bot SH\\AC \bot HG\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot SG\).
+) \(SG = \sqrt {\frac{{7{a^2}}}{3} + \frac{{{a^2}}}{3}}= \frac{{2a\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\); \(SC = \frac{{2a\sqrt 7 }}{3}\).
+) Có \(AE.SC = SG.AC \Rightarrow AE = \frac{{2a\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}.a.\frac{3}{{2a\sqrt 7 }} = \frac{{3a\sqrt 2 }}{{\sqrt {21} }}\) \( \Rightarrow \sin \varphi= \frac{{AK}}{{AE}} = \frac{{a\sqrt {21} }}{{\sqrt {37} }}.\frac{{\sqrt {21} }}{{3a\sqrt 2 }} = \frac{7}{{\sqrt {74} }}\)
======= Thuộc mục: Trắc nghiệm Khoảng cách và góc trong không gian
Để lại phản hồi