Chohình chóp tứ giác đều\(S.ABCD\),đáycó tâm\(O\)và cạnhbằng\(a\),\(SO = \frac{{a\sqrt {30} }}{2}\).Gọi\(M\),\(N\)lần lượt là trung điểm của\(SA\),\(BC\). Tính góc giữa đường thẳng\(MN\)và mặt phẳng \((ABCD)\).

Câu hỏi:

Chohình chóp tứ giác đều\(S.ABCD\),đáycó tâm\(O\)và cạnhbằng\(a\),\(SO = \frac{{a\sqrt {30} }}{2}\).Gọi\(M\),\(N\)lần lượt là trung điểm của\(SA\),\(BC\). Tính góc giữa đường thẳng\(MN\)và mặt phẳng \((ABCD)\).

A. \({30^\circ }\).

B. \({45^\circ }\).

C. \({60^\circ }\).

D. \({90^\circ }\).

GY:

.

Gọi\(H\)là trung điểm\(AO\).Ta có\(MH\,{\rm{//}}\,SO\)và\(MH = \frac{{SO}}{2} = \frac{{a\sqrt {30} }}{4}\).

Mà \(SO \bot (ABCD)\)nên \(MH \bot (ABCD)\).

\( \Rightarrow NH\)là hình chiếu vuông góc của\(MH\)trên mặt phẳng \((ABCD)\).

Do đó:\(\widehat {(MN\,,\,(ABCD))} = \widehat {(MN\,,\,NH)} = \widehat {HNM}\).

\(N{H^2} = C{N^2} + C{H^2} – 2.CN \cdot CH \cdot \cos \,\widehat {NCH}\,\)

\( = {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{3\sqrt 2 a}}{4}} \right)^2} – 2 \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{{3\sqrt 2 a}}{4} \cdot \cos {45^\circ } = \frac{{5{a^2}}}{8}\)\( \Rightarrow NH = \frac{{\sqrt {10} }}{4}a\).

\(\tan \widehat {HNM} = \frac{{MH}}{{NH}} = \sqrt 3 \). Vậy \(\widehat {(MN\,,\,(ABCD))} = {60^\circ }\).

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Khoảng cách và góc trong không gian