Cho hai số thực dương \(x\),\(y\) thay đổi thỏa mãn đẳng thức: \(\left( {xy – 1} \right){2^{2xy – 1}} = \left( {{x^2} + y} \right){2^{{x^2} + y}}\). Tìm giá trị nhỏ nhất \({y_{\min }}\) của \(y\).
A. \({y_{\min }} = 3\).
B. \({y_{\min }} = \sqrt 3 \).
C. \({y_{\min }} = 1\).
D. \({y_{\min }} = 2\).
Lời giải
Chọn D
Do \(x\),\(y\) là số thực dương đẳng thức \(\left( {xy – 1} \right){2^{2xy – 1}} = \left( {{x^2} + y} \right){2^{{x^2} + y}}\). Suy ra \(xy – 1 > 0\).
Ta có \({\log _2}\left( {xy – 1} \right) + \left( {2xy – 1} \right) = {\log _2}\left( {{x^2} + y} \right) + \left( {{x^2} + y} \right)\)
\( \Leftrightarrow \)\({\log _2}\left( {2xy – 2} \right) + \left( {2xy – 2} \right) = {\log _2}\left( {{x^2} + y} \right) + \left( {{x^2} + y} \right)\). (1)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _2}t + t\). Hàm số này đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Nên từ (1) ta được \(f\left( {2xy – 2} \right) = f\left( {{x^2} + y} \right)\)\( \Leftrightarrow \)\(2xy – 2 = {x^2} + y\)\( \Leftrightarrow \)\(y\left( {2x – 1} \right) = {x^2} + 2\)
Do \(y > 0\), \({x^2} + 2 > 0\) nên \(2x – 1 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{1}{2}\) Suy ra \(y = \frac{{{x^2} + 2}}{{2x – 1}}\).
Xét hàm số \(g(x) = \frac{{{x^2} + 2}}{{2x – 1}}\) trên \(\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\).
Bảng biến thiên \(g(x)\)
Dựa vào bảng biến thiên suy ra \({y_{\min }} = 2\)tại \(x = 2\).
======= Thuộc mục: Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
Trả lời