Cho hai số thực dương \(x\),\(y\) thay đổi thỏa mãn đẳng thức: \(\left( {xy – 1} \right){2^{2xy – 1}} = \left( {{x^2} + y} \right){2^{{x^2} + y}}\). Tìm giá trị nhỏ nhất \({y_{\min }}\) của \(y\).

Câu hỏi:

Cho hai số thực dương \(x\),\(y\) thay đổi thỏa mãn đẳng thức: \(\left( {xy – 1} \right){2^{2xy – 1}} = \left( {{x^2} + y} \right){2^{{x^2} + y}}\). Tìm giá trị nhỏ nhất \({y_{\min }}\) của \(y\).

A. \({y_{\min }} = 3\).

B. \({y_{\min }} = \sqrt 3 \).

C. \({y_{\min }} = 1\).

D. \({y_{\min }} = 2\).

Lời giải

Chọn D

Do \(x\),\(y\) là số thực dương đẳng thức \(\left( {xy – 1} \right){2^{2xy – 1}} = \left( {{x^2} + y} \right){2^{{x^2} + y}}\). Suy ra \(xy – 1 > 0\).

Ta có \({\log _2}\left( {xy – 1} \right) + \left( {2xy – 1} \right) = {\log _2}\left( {{x^2} + y} \right) + \left( {{x^2} + y} \right)\)

\( \Leftrightarrow \)\({\log _2}\left( {2xy – 2} \right) + \left( {2xy – 2} \right) = {\log _2}\left( {{x^2} + y} \right) + \left( {{x^2} + y} \right)\). (1)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _2}t + t\). Hàm số này đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Nên từ (1) ta được \(f\left( {2xy – 2} \right) = f\left( {{x^2} + y} \right)\)\( \Leftrightarrow \)\(2xy – 2 = {x^2} + y\)\( \Leftrightarrow \)\(y\left( {2x – 1} \right) = {x^2} + 2\)

Do \(y > 0\), \({x^2} + 2 > 0\) nên \(2x – 1 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{1}{2}\) Suy ra \(y = \frac{{{x^2} + 2}}{{2x – 1}}\).

Xét hàm số \(g(x) = \frac{{{x^2} + 2}}{{2x – 1}}\) trên \(\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\).

Bảng biến thiên \(g(x)\)

Dựa vào bảng biến thiên suy ra \({y_{\min }} = 2\)tại \(x = 2\).

======= Thuộc mục: Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số