Biết hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} – 3x\) có hai điểm cực trị \({x_1}\) và \({x_2}\) \(\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\). Tìm \(m\) để hàm số \(y = f\left( {f\left( x \right) + m} \right)\)nghịch biến trên \(\left( {{x_1}\,;\,{x_2}} \right)\).

Câu hỏi: Biết hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} – 3x\) có hai điểm cực trị \({x_1}\) và \({x_2}\) \(\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\). Tìm \(m\) để hàm số \(y = f\left( {f\left( x \right) + m} \right)\)nghịch biến trên \(\left( {{x_1}\,;\,{x_2}} \right)\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có \(f’\left( x \right) = 3{x^2} – 3\) \( \Rightarrow f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = – 1\\{x_2} = 1\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên

\(y = f\left( {f\left( x \right) + m} \right)\)\( \Rightarrow y’ = f’\left( x \right).f’\left( {f\left( x \right) + m} \right)\)

Để hàm số \(y = f\left( {f\left( x \right) + m} \right)\)nghịch biến trên \(\left( { – 1\,;\,1} \right)\) khi và chỉ khi \(y’ \le 0,\,\forall x \in \left( { – 1\,;\,1} \right)\)

\( \Leftrightarrow f’\left( x \right).f’\left( {f\left( x \right) + m} \right) \le 0,\,\forall x \in \left( { – 1\,;\,1} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow f’\left( {f\left( x \right) + m} \right) \ge 0,\forall x \in \left( { – 1 & ;\,1} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) + m \le – 1,\,\forall x \in \left( { – 1 & ;\,1} \right)\\f\left( x \right) + m \ge 1,\,\forall x \in \left( { – 1 & ;\,1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) \le – m – 1,\,\forall x \in \left( { – 1 & ;\,1} \right)\\f\left( x \right) \ge – m + 1,\,\forall x \in \left( { – 1 & ;\,1} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{\left[ { – 1\,;\,1} \right]} \le – m – 1\\\mathop {\min \,f\left( x \right)}\limits_{\left[ { – 1\,;\,1} \right]} \ge – m + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 \le – m – 1\\ – 2 \ge – m + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le – 3\\m \ge 3\end{array} \right.\end{array}\)

=======
Thuộc mục: Đơn điệu hàm hợp VDC