Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình sau:

Tìm tập hợp các giá trị \(m\) để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{2^{1 + x}} – {2^{1 – x}} – m} \right)\) đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Câu hỏi: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình sau:

Tìm tập hợp các giá trị \(m\) để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{2^{1 + x}} – {2^{1 – x}} – m} \right)\) đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\).

A. \(\left( { – \infty ;0} \right)\).

B. \(\left( {3; + \infty } \right)\).

C. \(\left[ {3; + \infty } \right)\).

D. \(\left( { – \infty ;0} \right]\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có: \(g’\left( x \right) = \left( {{2^{1 + x}}\ln 2 + {2^{1 – x}}\ln 2} \right).f’\left( {{2^{1 + x}} – {2^{1 – x}} – m} \right)\).

Do đó hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{2^{1 + x}} – {2^{1 – x}} – m} \right)\) đồng biến trên \(\left( {1\,;\, + \infty } \right)\) khi và chỉ khi

\(\left( {{2^{1 + x}}\ln 2 + {2^{1 – x}}\ln 2} \right).f’\left( {{2^{1 + x}} – {2^{1 – x}} – m} \right) \ge 0\), \(\forall x > 1\)

\( \Leftrightarrow f’\left( {{2^{1 + x}} – {2^{1 – x}} – m} \right) \ge 0,\,\,\,\forall x > 1\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} – 3 \le {2^{1 + x}} – {2^{1 – x}} – m \le 0\\3 \le {2^{1 + x}} – {2^{1 – x}} – m\end{array} \right.\,\,\,\forall x > 1\).\(\left( I \right)\)

Xét hàm số \(h\left( x \right) = {2^{1 + x}} – {2^{1 – x}} – m\).

Ta có: \(h’\left( x \right) = {2^{1 + x}}\ln 2 + {2^{1 – x}}\ln 2 > 0\), \(\forall x\).

Bảng biến thiên của \(h\left( x \right)\) trên \(\left[ {1; + \infty } \right)\):

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy \(\left( I \right) \Leftrightarrow 3 – m \ge 3 \Leftrightarrow m \le 0\).

=======
Thuộc mục: Đơn điệu hàm hợp VDC